ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ (или теория геометрических построений) — учение о построении геометрических фигур (см.) с помощью тех или иных инструментов или средств построения. Геометрические построения в основном затрагивают вопросы построения фигур (прямых, n-угольников, окружностей и др.), удовлетворяющих определенным условиям: при этом средства построения заранее предписаны — это или классические инструменты: циркуль и линейка (математическая односторонняя), или ограниченные средства построений: угольник (модель прямого угла), линейка с параллельными краями, или только одна линейка при условии, если на плоскости начерчена окружность и ее центр (построения Щтейнера), или только один циркуль (построения Мора — Маскерони), или другие средства.

Геометрические построения как на плоскости, так и в пространстве опираются на постулаты (конструктивные аксиомы) построения, т. е. на простейшие, элементарные задачи. Задача считается решенной, если она сведена к конечному числу простейших задач-постулатов построения. При этом каждому инструменту будет отвечать определенный набор постулатов.
Основными из методов решения задач на геометрические построения в средней школе являются: метод геометрического места точек, метод геометрического преобразования, в частности гомотетии (см.) и подобия, и алгебраический метод.
Приведем пример решения задач на построение, считая, что постулаты построения известны. Разделить данный отрезок на три равные части циркулем и линейкой.
1-й способ — на основе теоремы Фалеса (рис. 42). Проведя произвольный луч АМ и отложив на нем равные произвольные отрезки АМ1 = М1М2 = М2М3, проведем ВМ3 , а затем через М1 и М2  — прямые, параллельные ВМ3, которые пересекут АB в искомых точках деления: АК1= К1К2 = К2В.

3662-й способ. Проведем произвольную прямую ℓ|| АВ (рис. 43) и отложим на ней три равных произвольных отрезка А’К’= К’L’ = L’В’. Проведя АА’ и ВВ’, получим точку пересечения S (считая, что А’В’≠АВ).
Спроектировав К’ и L’ из S на АВ, получим искомые точки К и L.
3-й способ. Примем отрезок АВ за медиану некоторого треугольника (рис. 44) и воспользуемся свойством медиан треугольника. Проведем через В произвольную прямую ℓ и отложим на ней произвольные равные отрезки ВС=ВD. Соединив А и С, А и D, получим треугольник АСD, в котором данный отрезок АВ — медиана. Проведя в нем вторую медиану СМ, получим точку L пересечения АВ и СМ, так что ВL=1/3 AВ. Затем строим LК=LВ, тогда АК = КL=LВ.