СТЕПЕННОЕ СРЕДНЕЕ

СТЕПЕННОЕ СРЕДНЕЕ положительных чисел al, a2,…, аn — числовая характеристика Sα этих чисел. Степенное среднее равно1846где α — любое действительное число, отличное от нуля. Выражение для степенного среднего при α = 0 дает неопределенность, раскрыв которую, например, по правилу Лопиталя (см. Лопиталя правило), приходим к геометрическому среднему (см.). Поэтому можно считать, что S0 является средним геометрическим и степенным средним. Значение Sα определено для всех действительных чисел α. При α = — 1, 1 и 2 из степенного среднего получаем соответственно гармоническое среднее (см.) S-1 , арифметическое среднее (см.) S1 и квадратичное среднее (см.) S2.
Основное свойство степенного среднего состоит в том, что оно относительно α является монотонно возрастающей функцией (см.), т. е. если α≤β, то Sα < Sβ . Поэтому среднее гармоническое, геометрическое, арифметическое и квадратичное: S-1 , S0 , S1, S2 — удовлетворяют неравенствам S-1 ≤ S0 ≤ S1 ≤ S2 . Степенное среднее находят различные применения во многих разделах математики и математической статистики. См. также Взвешенное степенное среднее.

Комментарии для сайта Cackle