СИММЕТРИЯ

СИММЕТРИЯ: Симмметрия относительно прямой ℓ, лежащей в некоторой плоскости Q, есть такое преобразование точек этой плоскости в себя, при котором каждая точка А переходит в точку А’, симметричную с первой относительно прямой ℓ (рис. 260).1775Прямая ℓ иначе называется осью симметрии, а симметрия относительно прямой — осевой симметрией, или отражением от прямой, или зеркальным отражением от прямой. Осевая симметрия есть взаимно однозначное, а также инволюционное соответствие точек плоскости (см. Инволюция). При осевой симметрии длина отрезка сохраняется, а ориентация фигуры меняется на противоположную, следовательно, осевая симметрия есть движение (см.) второго рода. Прямые при симметрии преобразуются в прямые, при этом прямые, перпендикулярные оси симметрии, преобразуются в себя, а ось симметрии, оставаясь неподвижной, остается и точечно-неподвижной (точечно-инвариантной): каждая точка ее двойная (см.).

Понятие осевой симметрии часто используется при решении задач на геометрические построения (см.), при построении графиков четной функции (см.), в архитектуре, в кристаллографии, в разрисовке тканей. Произведение двух осевых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос (см.), произведение двух осевых симметрий с пересекающимися осями не является симметрией ни относительно первой, ни относительно второй осей симметрии, т. е. множество всех симметрий на плоскости относительно заданных осей не обладает свойством замкнутости. Другими словами, множество всех осевых симметрий на плоскости не является группой (см.).

2°. Симметрия относительно точки О, лежащей в некоторой плоскости Q, есть такое преобразование точек этой плоскости, при котором каждая точка А переходит в точку А’, симметричную с первой относительно точки О. Точка О при этом называется центром симметрии, а симметрия относительно точки — центральной симметрией.

Центральная симметрия является: а) взаимно однозначным преобразованием точек плоскости, б) инволюционным преобразованием точек плоскости, в) преобразованием поворота плоскости на угол φ=180° и г) преобразованием движения. Центральная симметрия имеет те же применения, что и осевая симметрия. Произведение двух центральных симметрий на плоскости с различными центрами симметрии есть параллельный перенос точек плоскости. Аналогично определяется симметрия относительно плоскости и относительно точки в пространстве. Симметрию называют также свойством фигуры, симметричной относительно прямой (оси), или точки (центра), или плоскости; другими словами, симметрия есть также свойство фигуры, имеющей ось симметрии, или центр симметрии, или плоскость симметрии.

Комментарии для сайта Cackle