СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ: 1°. Сферически функции Лежандра Рn(х) и Qn(x) служат решениями дифференциального уравнения Лежандра: [(1—х²) у’]’ + n(n+ 1) у=0 и могут быть представлены с помощью рядов:1898

с произвольными A и B.

Для любого целого числа n≥0 один из рядов обрывается, и соответствующая сферическая функция превращается в полином Лежандра Рn (х) (см.); второй ряд при этом есть функция Лежандра второго рода.

Полиномы Рn (х) имеют производящую функцию (см.):1899Если положить x=cosv, то Рn (cos v) будет представлять функцию, определенную на поверхности сферы, — «зональную сферическую функцию». Функция y= Рn (cos v) удовлетворяет дифференциальному уравнению:1900Функции rn Рn (cos v) и r -(n+1)Рn называются шаровыми функциями Лапласа; они удовлетворяют уравнению Лапласа ∆ U=0.

2°. Сферические функции присоединенные Рnm (х) являются решениями дифференциального уравнения:1901Они связаны с полиномом Лежандра формулой:1902Если положить x=cos v, то функция Рnm (cos v) представляет решение уравнения:19033°. Сферические функции общие уn (v, φ) служат решениями дифференциального уравнения с частными производными:1904здесь v и φ — сферические координаты (см.).

Сферическая функция уn (v, φ) степени n называется тригонометрический многочлен:1905Уравнение (*) получается при разделении переменных в уравнении Лапласа в сферических координатах.

Комментарии для сайта Cackle