ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — совокупность методов прикладного математического анализа, позволяющих экономными и непосредственно ведущими к цели средствами получать решения линейных дифференциальных уравнений, а также разностных и некоторых типов интегральных уравнений. В связи с этим методы операционного исчисления находят самое широкое применение в механике, электротехнике, автоматике и в других самых разнообразных отраслях науки и техники. В основе операционного исчисления лежит идея функционального преобразования: некоторой функции вещественного переменного t, определенной при положительных значениях аргумента, называемой начальной функцией или оригиналом, с помощью линейного интегрального преобразования ставится в соответствие функция другого переменного р, называемая изображением. Подобное преобразование «оригинал — изображение» можно осуществить так, чтобы операциям дифференцирования и интегрирования начальных функций соответствовали алгебраические операции в области изображений. Это дает возможность находить с помощью простейших алгебраических действий изображения решений исходных дифференциальных уравнений, затем разыскивать соответствующую начальную функцию, т. е. решение осуществляется с помощью некоторых простых правил и «каталога» наиболее часто встречающихся изображений. В более сложных задачах приходится прибегать к обратному функциональному преобразованию: изображение — оригинал. Первые сочинения, посвященные операционному исчислению, появились в середине прошлого века. Русским математиком М. Е. Ващенко-Захарченко в монографии «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений», вышедшей в Киеве в 1862 г., были поставлены и частично разрешены основные задачи того метода, который в дальнейшем получил название операционного. Систематическое применение операционного исчисления к решению физических и технических задач началось с появления в 1892 г. работ английского ученого О. Хевисайда. Сущность операционного исчисления можно проиллюстрировать на примере с наиболее часто встречающимся в прикладных задачах классом начальных кусочно-непрерывных функций f(t) вещественной переменной t, определенных при tt<0. Из класса кусочно-непрерывных начальных функций выделяется и в дальнейшем рассматривается подкласс функций, характеризуемых определенным порядком роста при весьма больших значениях аргумента t, а именно: |f(t)| < Меsot , где М и so — независимые от t числа. Если р=s+iσ — некоторое комплексное число, то при указанных ограничениях, накладываемых на функцию f(t), интеграл

1095существует и представляет регулярную в полуплоскости Rе р>so функцию от р, называемую лапласовым интегралом функции f (t).
Функцию F (p), введенную по закону:

1096называют изображением начальной функции или оригинала f(t). Ряд свойств изображения (**), например изображения производной f’ (t):

1097и изображения интеграла

1098

делают очевидным тот факт, что преобразование (*) переводит операции дифференцирования и интегрирования в операции умножения и деления на комплексное переменное р. Пользуясь основными свойствами изображения, составляются изображения некоторых простейших функций — «каталог» изображений. «Каталог» изображений простейших функций и теоремы разложения Хевисайда, дающие возможность отыскать начальную функцию, когда изображение F (р) является полиномом или отношением двух полиномов, позволяют простейшим способом найти решение большой группы обыкновенных линейных дифференциальных и разностных уравнений с постоянными коэффициентами. Но многочисленные задачи приводят к изображениям, не сводящимся к имеющимся в «каталоге». Существует общее средство построения начальной функции по ее изображению — так называемая формула обращения Римана—Меллина:

1099где интегрирование производится по любой прямой в плоскости р=σ+iω, параллельной мнимой оси и расположенной в полуплоскости Rе р≥s1so . В математической физике при интегрировании дифференциальных уравнений с частными производными применяется многомерное операционное исчисление. В последнее время обоснованием операционного исчисления занимались польский ученый Ян Минусинский и советский математик В. А. Диткин.