НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ

НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ в точке

965функция

966удовлетворяющая условию: для любого εδ, что для всех точек

967подчиняющихся условиям

968выполняется неравенство |f(Р)—f( Р0 ) |<ε. Другими словами, f (Р) непрерывна в точке Р0 , если при стремлении Р → Р0

f(Р) стремится к f( Р0 ). Функция, непрерывная в каждой точке множества М, называется непрерывной функцией на множестве М. График непрерывной функции одного переменного на связном множестве есть непрерывная линия, которая, однако, может сильно отличаться от наивного представления о непрерывной кривой. Так, существуют непрерывные функции, нигде не имеющие производной. Их графики представляют собой непрерывные кривые, нигде не имеющие касательной. Пример такой функции впервые был построен немецким математиком Вейерштрассом.
Непрерывные функции обладают многими важными свойствами: непрерывные функции на компактном множестве (см.) достигает своего наименьшего и наибольшего значения; сумма, разность, произведение непрерывных функций являются непрерывными функциями; суперпозиция (см.) двух непрерывных функций есть также непрерывные функции (см. также Ролля теорема). Всякую непрерывную функцию f(х) на отрезке |a,b| с любой степенью точности можно приблизить многочленом (теорема Вейерштрасса). Непрерывная функция на компактном множестве является равно мерно непрерывной. Все эти свойства придают особую важность непрерывной функции для многих разделов математики. По классификации Бэра Н. ф. относятся к нулевому классу. В более абстрактной форме Н. ф. рассматриваются не только на множествах в пространстве переменных х1, х2….. хn , но и на произвольном множестве топологического пространства (см.). Примеры: все многочлены, а также функции eх , sin х, соs х являются Н. ф. на всей числовой прямой; у=tgx; непрерывна всюду, кроме точек

969
где она не определена; у=lg x: непрерывна во всей области определения 0<х< ∞;

970971
непрерывна на всей прямой, однако в точке х=0 не имеет производной.