МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ — квадратные (т.е. с одинаковым количеством столбцов и строк), таблицы натуральных чисел, имеющие одинаковые суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям.
Возникновение магических квадратов относится к глубокой древности. Наиболее ранние сведения о них содержатся, по-видимому, в китайских книгах, написанных в IV— V вв. до н. э. Из дошедших до нас древних магических квадратов самым «старым» является
таблица Ло-шу (2200 до н. э.)

559Таблица Ло-шу состоит из 9 клеток: 3 строк и 3 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 9. В этом магическом квадрате суммы чисел по всем строкам, столбцам и двум диагоналям равны одному и тому же числу 15. Следующие по времени сведения о магических квадратах дошли до нас из Индии и Византии. В Европе изображение магического квадрата впервые встречается на гравюре «Меланхолия» немецкого художника Альбрехта Дюрера (1514). Этот магический квадрат состоит из 16 клеток: 4 строк и 4 столбцов, заполненных натуральными числами от 1 до 16. В нем сумма чисел по каждой строке, каждому столбцу и двум диагоналям равна 34. Средние числа в нижней строке (15 и 14) означают дату 1514 — год издания этой гравюры А. Дюрера.

560Этот магический квадрат замечателен еще и другими интересными свойствами: в нем одному и тому же числу (34) равна сумма не только чисел, стоящих в строках, столбцах и двух диагоналях, но и суммы чисел, стоящих в квадратах из четырех клеток, расположенных по углам и в середине, а также сумма чисел, стоящих в вершинах этого магического квадрата. Такие квадраты, в отличие от обычных магических квадратов, следовало бы называть как-нибудь иначе, например 9 6 7 12 волшебными, сверхмагическими и т. п.
Способами составления магических квадратов занимались многие математики: в XVI в. А. Ризе и М. Штифель, в XVII в. А. Кирхер и Баше де Мезериак. Теорией магических квадратов занимался французский математик Делаир. Для составления магических квадратов с нечетным числом клеток имеется очень простой общий способ. Для составления же магических квадратов с четным числом клеток все имеющиеся способы значительно сложнее. В настоящее время понятия магического квадрата обобщены (расширены) в различных направлениях. В частности, под магическими квадратами понимают квадратные таблицы, заполненные не обязательно первыми натуральными и последовательными числами. Легко видеть, что из любого магического квадрата можно получить бесконечное множество других магических квадратов путем умножения всех его чисел на одинаковый множитель или прибавления к ним одного и того же слагаемого.
Приведем еще два магических квадрата, состоящие из 16 и 9 клеток и заполненные натуральными (не подряд) числами. Суммы одного из них по строкам, столбцам и диагоналям равны 77, а другого — 105. Эти два магических квадрата представляют особенный интерес как в смысле трудности их составления, так и в смысле законов распределения простых чисел, а именно: если все числа этих магических квадратов умножить на 10, а затем ко всем числам большего из них прибавить 7, а ко всем числам меньшего прибавить 9, то получатся снова магические квадраты, заполненные только одними простыми числами, и притом различными (не повторяющимися).

561Магические квадраты свое название магических или волшебных получили от арабов, которые усматривали в подобных сочетаниях чисел нечто чудесное, мистическое и смотрели на них как на талисманы.