ЛОГАРИФМ

ЛОГАРИФМ числа N при данном основании а (а > 0, а≠1) есть показатель n-й степени, в которую надо возвысить число а, чтобы получить число N. Логарифм числа N при основании а обозначают так: lоgа N. Итак, согласно определению, lоgа N=n равносильно равенству аn=N . Отсюда следует, что только положительные числа имеют логарифм, так как а > 0.  Логарифм числа N при основании а можно определить как решение показательного уравнения вида аx=N . Всякое положительное число имеет единственный логарифм при данном основании. Логарифм принимает любые действительные значения.
Если основание логарифма, т. е. число а, равно 10, то такие логарифмы называются десятичными и обозначаются lgN. Десятичный логарифм числа N, отличного от 10p/q , где р и q — целые числа, есть трансцендентное число, поэтому в таблицах такие логарифмы даны лишь приближенно конечной десятичной дробью. Целая часть десятичного логарифма называется его характеристикой, а дробная — мантиссой. Например, lg 200=2,3010, где характеристика логарифма равна 2 и мантисса 0,3010. Основные свойства логарифма такие (М, N — положительные):

835836Между логарифмами двух различных систем существует зависимость:

837Постоянный множитель

838при переходе (пересчете) от системы логорифм. с основанием а (при основании а) к системе логарифма с основанием b называется модулем перехода от одной системы логарифма к другой.
В высшей математике и в теоретических вопросах большое значение имеют логарифмы с основанием, равным трансцендентному числу е= 2,71828 . . ., которые называются натуральными логарифмами и обозначаются 1n N. Натуральные логарифмы иначе называются гиперболическими, так как они связаны с площадью фигуры, ограниченной дугой равносторонней гиперболы у=1/x, осью абсцисс и ординатами, соответствующими абсциссам 1 и х.
В теории функции комплексного переменного рассматриваются логарифмы (натуральные) комплексных чисел. По определению логарифма комплексного числа z (обозначается Ln z) равен:

839Логарифмы появились как ответ на вычислительные потребности человеческого общества, во время бурного развития астрономии и мореплавания в XV—XVI вв.
Первые таблицы логарифмов появились почти одновременно и были составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1614), английским математиком Бриггом (по другим написаниям Бригсом)—в 1617 г., швейцарским математиком И. Бюрги (1620). Термин «натуральный логарифм» и понятие о модуле перехода принадлежит Меркатору, термин «характеристика» — Бриггу, «мантисса», в нашем понимании, — Эйлеру, «основание логарифма» ввел также Эйлер. Десятичные логарифмы иначе называются бригговыми. См. также Логарифмическая функция. Греч. λoγοξ — (в смысле) отношение, αριθμο— число.