КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — взаимно однозначное непрерывное соответствие между точками двух областей на поверхностях, при котором сохраняются углы между линиями; угол между касательными к двум линиям (в их общей точке) на первой поверхности равен углу между касательными к их образам на другой поверхности. Так, стереографическая проекция является конформным отображением сферы на плоскость. При конформном отображении областей плоскости бесконечно малым фигурам соответствуют подобные бесконечно малые фигуры. С этим свойством связано само название конформное отображение, происходящее от латинского слова conformis — сходный, подобный.
Аналитическая функция w = f (z), однолистная в области D плоскости комплексного переменного, дает конформное отображение области D на область D’ плоскости W. Обратно, любые две односвязные области D и D’, отличные от полной плоскости или плоскости с выключенной точкой, могут быть конформно отображены друг на друга с помощью аналитической функции, которая определится однозначно, если потребовать, чтобы данной точке из D и данному направлению в ней соответствовала определенная точка из D’ с заданным в ней направлением. Эта важнейшая теорема теории конформного отображения была доказана Риманом.
Выше имелись ввиду конформные отображения первого рода, т. е. есть такие конформные отображения, при которых сохраняется направление обхода (по замкнутой кривой и ее образу). Конформное отображение, при котором направление обхода меняется на противоположное, называется конформным отображением второго рода. Конформное отображение второго рода задается функцией w = f(z) = u — iυ, сопряженной с аналитической функцией f(z) = u + iυ.

Примеры: 1) функция w = zn  дает конформное отображение угла 0<φ<π/n (рис. 114) плоскости z (φ—аргумент z) на верхнюю полуплоскость плоскости w (рис. 115); 2) функцияw =ez дает конформное отображение полосы — ∞ <x< + ∞, 0<у<2π(z=х+iу) плоскости z (рис, 116) на плоскость w, из которой исключена положительная часть вещественной оси (рис. 117)

697698