ИНВЕРСИЯ

ИНВЕРСИЯ: 1° Инверсия в геометрии относительно данной окружности О (r) — преобразование точек плоскости этой окружности, при котором каждой точке М, отличной от точки О, ставится в соответствие точка М’ той же плоскости такая, что при этом выполняются требования: 1) М’ лежит на луче ОМ, 2) ОМ·ОМ’ = r². Окружность О (r) при этом называется окружностью инверсии, точка О — центром (полюсом) инверсии, r² — коэффициентом (степенью) инверсии.  Если положить r = 1, то ОМ = 1/OM´= (ρ = 1/ρ´), откуда происходит другое название инверсии: преобразование обратными радиус-векторами. Упомянутая выше инверсия называется гиперболической. Если же точка М’ лежит на противоположном луче по отношению к лучу ОМ, то такую инверсию называют эллиптической.
Свойства инверсии: 1) Инверсия есть взаимно однозначное преобразование точек плоскости (за исключением точки О); 2) Инверсия  есть инволюционное преобразование точек плоскости; 3) всякая внутренняя точка окружности О (r), кроме точки О, преобразуется во внешнюю точку, при этом чем дальше отстоит от центра точка М, тем ближе к центру находится ее образ М’; 4) прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя; 5) окружность инверсии преобразуется в себя, т. е. окружность О (r) инверсии есть геометрическое место двойных точек инверсии (см. Двойной элемент); 6) всякая прямая, не проходящая «через центр, преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии (при этом точка О исключается из окружности), и обратно; 7) окружность, не проходящая через центр, преобразуется в окружность, не проходящую через центр; при этом центры взаимно инверсных окружностей не являются соответственными точками; 8) Инверсия есть конформное преобразование (см.) 2-го рода, т. е. в инверсия сохраняются углы между линиями, но ориентация фигур при инверсии изменяется на противоположную; 9) окружности, ортогональные к окружности инверсии, преобразуются в инверсию сами в себя, хотя точки этих окружностей не являются двойными, за исключением только двух точек пересечения этой окружности с окружностью инверсии.
Преобразование инверсии используется при решении задач на построение, в особенности в тех задачах, где рассматривается вопрос о построении окружности, касающейся других окружностей (прямые и точки могут считаться как предельные (частные) случаи окружностей. Инверсия используется также в теории функций комплексного переменного, в основаниях геометрии (модель Пуанкаре плоскости Лобачевского).
Если вместо окружности О (r) взять сферу О (r), то аналогично можно определить инверсию и для пространства. Две фигуры Ф и Ф’, соответственные в инверсии, называются взаимно инверсными. Преобразование фигуры Ф в фигуру Ф’ в инверсии называется также инвертированием фигуры Ф в фигуру Ф’.

2°. Инверсия в комбинаторике — всякое нарушение нормального (обычного, алфавитного) порядка двух элементов независимо от того, стоят ли они рядом или нет. Например, в перестановке bса элементы b и а, с и а образуют инверсию, если за нормальное расположение элементов считать такое: аbс.
Лат. inversio — перестановка, превращение.