ГОМОТЕТИЯ

ГОМОТЕТИЯ — преобразование, в котором каждой точке М плоскости или пространства ставится в соответствие точка М’ такая, что выполняется равенство:

431где S —данная точка, называемая центром гомотетии, а к— постоянное число, не равное нулю, называемое коэффициентом гомотетии .

При к>0 соответственные точки М и М’ лежат на одном луче с началом в точке S (рис. 58, а), при к<О точки М и М’ лежат на разных лучах прямой, имеющих своим началом точку S (рис. 58, б).

432Простейшие свойства  гомотетии: 1) Гомотетия есть взаимно однозначное преобразование точек плоскости в себя; 2) Если к = 1, то гомотетия есть тождественное преобразование точек плоскости; при любом к ≠ 0 точка S — центр гомотетии — двойная, т. е. она преобразуется в себя; 3) Всякая прямая, проходящая через центр  гомотетии, преобразуется в себя; 4) Всякая прямая АВ, не проходящая через центр S, преобразуется при  гомотетии в параллельную ей прямую А’В’ ; отсюда углы между прямыми при  гомотетии  сохраняются (рис. 59); 5) Отрезки при  гомотетии  переходят в параллельные им отрезки и уменьшенные или увеличенные в | к | раз. Поэтому гомотетия есть сжатие (растяжение) плоскости к точке S; 6) Всякая окружность при  гомотетии  преобразуется в окружность, при этом центр одной из них переходит в центр другой.
Гомотетия задается обычно центром S и парой соответственных точек и обозначается при этом так: H(S, А, А’). Гомотетия есть частный случай аффинного преобразования (см.), при котором имеется только одна двойная точка.
Преобразование гомотетии используется при подобном копировании с помощью пантографа (см.) при съемках плана местности (мензульная съемка), при решении задач на построение.
Гомотетия есть частный случай более общего преобразования — подобия, при котором всякий отрезок АВ переходит в А’В’, так что выполняется равенство А’В’=АВк, к≠0. Но АВ и А’В’ могут быть и не параллельны.
Греч, ομος — одинаковый, равный, θετοζ — расположенный.