ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ — важный раздел современной математики. Как самостоятельная наука функциональный анализ оформился на рубеже XIX и XX вв., когда обнаружилась глубокая аналогия между некоторыми понятиями алгебры, анализа и геометрии. Функциональный анализ объединяет и обобщает идеи различных отделов классического анализа (например, вариационное исчисление, интегральное и дифференциальное исчисление, интегральные и дифференциальные уравнения), теории множеств, линейной алгебры и многомерной геометрии.  Наиболее важным понятием функционального анализа является общее понятие пространства (см.). Для функционального анализа характерно рассмотрение бесконечномерных пространств, состоящих из функций, последовательностей или каких-либо других общих объектов, а также операций над элементами таких пространств. Понятие n-мерного пространства необходимо было ввести уже при геометризации теории функций многих переменных. Пространства, точками которых являются функции или числовые последовательности, называются функциональными пространствами (см.).
С развитием понятия пространства шло и обобщение понятия функции. Переменные величины, зависящие не от числового аргумента, а от некоторой функции, получили название функционалов (см.). Функционал — числовая функция, определенная на некотором функциональном пространстве. Было установлено, что многие свойства уравнений связаны с чисто алгебраическими соотношениями между операторами (см.) дифференцирования, интегрирования, умножения на функцию и т. д. Рассмотрение алгебраических свойств этих операторов лежит в основе операционного исчисления (см.) — одного из отделов функционального анализа. Одной из важнейших идей функционального анализа является идея спектрального разложения линейного оператора. Методы функционального анализа широко применяются как в математике, так и в современной физике и химии (например, квантовой физике и квантовой химии). Более того, сам функциональный анализ и пути дальнейшего его развития в значительной мере зависят от идей и задач современной квантовой физики.