ЭЛЛИПС

ЭЛЛИПС — геометрическое место точек плоскости α, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F1 и F2 лежащих в α, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между F1 и F2 , и равная данному числу 2а (или отрезку 2а). Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса. Расстояние между фокусами, обозначаемое через 2с, называется фокальным. Данное число (отрезок) 2а называется большой осью1469Эддипс можно начертить так. Взяв нерастяжимую нить длиной 2а, закрепим ее концы в точках F1 и F2 (рис. 324). Затем, натянув эту нить острием карандаша, будем двигать острие карандаша по бумаге. Траектория движения острия карандаша и опишет замкнутую кривую — эллипс, для которой M F1 + M F2 =2a, отрезки M F1 и M F2 , называются фокальными радиусами.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса в прямоугольных декартовых координатах имеет вид:1470где b² = а² —с². Число (отрезок) 2b называется малой осью эллипса. Из уравнения эллипса вытекает, что1471Отсюда следует, что координаты точек эллипса удовлетворяют условиям | х | ≤ a и | у | ≤ b, т. е. эллипс расположен внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b. Из уравнения эллипса также следует, что эллипс имеет центр и две оси симметрии.
Число е=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса всегда e < 1. Если F1 ≡ F2 (фокусы совпадают), то эллипс вырождается в окружность, для которой совпадающие фокусы являются центром, а эксцентриситет е=0 (так как при этом с=0). 1472Параметрические уравнения эллипса имеют вид x = a cos t и y = b sin t, которые легко усматриваются из рис. 325: если отрезок постоянной длины скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым, то точка М этого отрезка опишет эллипс. Если точку М взять на продолжении отрезка АВ (на рисунке точка К), то описываемая ею кривая будет также эллипс. На указанном свойстве построен эллиптический циркуль (см.) — прибор, вычерчивающий эллипс с различными осями.
Если спроектировать какую-либо окружность на плоскость, не перпендикулярную и не параллельную плоскости окружности, то в проекции получится эллипс . Если круговой цилиндр пересечь наклонной плоскостью или круговой конус пересечь наклонной плоскостью, имеющей различные общие точки с противоположными образующими конуса, то в сечении получится эллипс.1473Прямые, уравнения которых х=± a/e, называются директрисами (см.) эллипса.
Касательная t к эллипсу составляет равные углы с фокальными радиусами, проведенными в точку касания (рис. 326). Отсюда вытекает, что перпендикуляр ℓ к касательной в точке касания составляет равные углы с фокальными радиусами. Это свойство можно истолковать как свойства углов падения и отражения, изучаемых в оптике: если точечный источник света поместить в фокусе F1 и луч света направить на зеркальную поверхность t по F1 M, то отраженный луч пойдет по M F2 , т. е. попадет в точку F2 . Отсюда происходит и название фокуса (от лат. focus — очаг, огонь).
Свойства Э. используются в технике в конструкциях некоторых станков, где имеются зубчатые шестерни эллиптической формы. Траектории движения планет нашей солнечной системы являются различными эллипсами. Свойства эллипса используются также при изучении законов движения планет — законов Кеплера. Полярное уравнение эллипса имеет вид:1474где е<1 и р — фокальный параметр. При вращении эллипса вокруг одной из его осей получается поверхность 2-го порядка — эллипсоид (см.) вращения. См. Конические сечения. Греч. ελλειψις — недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1. Для эллипса е < 1.