ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ — алгебраические уравнения или система таких уравнений с двумя или большим числом неизвестных с целыми коэффициентами, для которых разыскиваются целые или рациональные решения; при этом’ число неизвестных в диофантовом уравнении больше числа уравнений.
Примеры диофантовых уравнений: 1) Диофантово уравнение ах+bу=1, где а и b взаимнопростые числа имеет бесчисленное множество целых решений: х=х0+bn, у=у0 — аn, где (х0, y0)  — какое-либо решение, n — любое целое; 2) Диофантово уравнение х² — dу²  = 1 (уравнение Пелля см.) — имеет бесчисленное множество целочисленных решений; 3) Диофантово уравнение хnn=zn (n > 2; великая теорема Ферма) — не известно до настоящего времени, имеет или не имеет целые решения при любом целом n>2. Для n=3, 4, . . . , 4000 доказано, что не имеет целых решений х, у, z.
При n=2 Д. у. х²+у² = z² дает целые решения, которые называются пифагоровыми числами, а прямоугольный треугольник с целочисленными катетами х и у и целочисленной гипотенузой z называется пифагоровым треугольником (см. Пифагора теорема). Методы исследования диофантовых уравнений связаны с непрерывными дробями (см.), с теорией алгебраических чисел (см.).