Плоское движение твердого тела. Плоскопараллельное движение твердого тела VI. Сложное движение точки

Лекции

Лекции 4-5. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения плоского движения, число степеней свободы. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс. Соотношение между скоростями двух любых точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС. Различные способы определения угловой скорости. Соотношение между ускорениями двух любых точек плоской фигуры. Понятие о мгновенном центре ускорений. Различные способы определения углового ускорения. Пример ОЛ4-5.14.

ОЛ-1, гл. 3, §§ 3.1-3.9.

Лекции 6-7. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнения движения. Мгновенная ось вращения. Векторы угловой скорости и углового ускорения. Скорости точек тела: векторная и скалярная формулы Эйлера. Формулы Пуассона. Ускорения точек тела. Пример Л5-19.4. Общий случай движения свободного твердого тела. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.

ОЛ-1, гл. 4, гл. 5.

Лекции 8-9. Сложное движение точки, основные понятия и определения. Полная и локальная производные вектора, формула Бура. Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса, правило Жуковского. Частные случаи. Примеры: Л4-7.9, 7.18. Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений, сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

ОЛ-1, гл. 6, гл. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

Студенты самостоятельно изучают тему «Сложение вращений вокруг параллельных осей, пара вращений».

ОЛ-1, гл. 7, § 7.3.

Лекция 10. Понятие о криволинейных координатах. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения в цилиндрических и сферических координатах.

ОЛ-1, гл. 1, § 1.4.

Семинары

Занятие 5. Определение скоростей точек твердого тела при его плоском движении. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС, определение угловой скорости тела.

Ауд.: ОЛ5-16.29, Л4-5.6,5.7,5.14.

Дома: ОЛ4-5.8,5.15,5.20.

Занятие 6. Определение ускорений точек плоской фигуры по соотношению между ускорениями двух любых ее точек и с помощью мгновенного центра ускорений. Различные способы определения углового ускорения.

Ауд.: ОЛ5-18.11, Л4-5.26,5.30.

Дома: ОЛ4-5.21, 5.28.

Занятие 7

Ауд.: ОЛ4-5.38, 5.37.

Дома: ОЛ4-5.39, 5.43.

Занятие 8 Определение скоростей и ускорений точек твердых тел при плоском движении в системах с одной степенью свободы.

Ауд.: ОЛ4-5.40.

Дома: ОЛ4-5.41.

Занятие 9. Решение задач типа ДЗ-2 «Кинематика плоского движения твердого тела»

Ауд.: Задачи типа ДЗ-2.

Дома: ДЗ-2, МП 5-7.

Занятие 10. Определение скоростей и ускорений точек при заданных переносном и относительном ее движениях.

Занятие 11. Определение скоростей и ускорений точек в сложном движении при известной траектории ее абсолютного движения.

Ауд.: ОЛ5-23.18,23.27,23.30, ОЛ4-7.17.

Дома: ОЛ4-7.6(7.3),7.16(7.13).

Занятие 12. Решение задач типа ДЗ-3 «Сложное движение точки»

Ауд.: ОЛ4-7.34 (7.29). Задачи типа ДЗ-3.

Дома: ДЗ №3, МП 8-10.

Модуль 3: Статика

Лекции

Лекция 11. Статика, основные понятия и определения. Аксиомы статики. Основные виды связей и их реакции: гладкая поверхность, цилиндрический шарнир, шаровой шарнир, подпятник, гибкая нить, шарнирный стержень.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.1, 8.2.

Лекция 12. Система сходящихся сил, условия равновесия. Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки или оси. Векторный и алгебраический моменты пары.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.3-8.5.

Лекция 13. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. Лемма о параллельном переносе силы. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил – основная теорема статики.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6.

Лекция 14. Главный вектор и главный момент системы сил. Формулы для их вычисления. Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи: система параллельных сил, плоская система сил – основная форма. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей, распределенные силы. Примеры: Л5-4.26, Л4-2.17. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6, гл. 9, § 9.1.

Лекции 15-16. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Равновесие системы тел. Силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Задачи статически определенные и статически неопределенные. Равновесие тела на шероховатой поверхности. Трение скольжения. Законы Кулона. Угол и конус трения. Пример Л5-5.29. Трение качения. Коэффициент трения качения.

ОЛ-1, гл. 9, § 9.2, гл. 10.

Лекция 17. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил. Центр тяжести тела: объема, площади, линии. Методы нахождения центра тяжести: метод симметрии, метод разбиения на части, метод отрицательных масс. Примеры.

ОЛ-1, гл. 11.

Семинары

Занятие 13.

Ауд.: ОЛ5-2.19,2.29,4.17,4.25.

Дома: Л4-1.3, 1.5.

Занятие 14. Определение реакций при равновесии плоской системы тел.

Ауд.: ОЛ4-1.14,1.15,1.17.

Дома: Л4-1.12, 1.16, МП 11,14.

Занятие 15. Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил.

Ауд.: ОЛ4-1.26, Л5-8.17, 8.19.

Дома: ОЛ4-1.24,1.25,1.29.

Занятие 16 Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил. Решение задач типа ДЗ-4.

Ауд.: ОЛ5-8.26, Л4-2.12,2.18,2.19.

Дома: ОЛ4-2.16, ДЗ №4, МП 12-14.

Занятие 17. Определение сил при равновесии с учетом трения.

Ауд.: ОЛ5-5.26,5.28, Л4-1.39 (1.38).

Дома: ОЛ4-1.43(1.42),1.46(1.45).

Модуль 4: Экзамен

Экзамен проводится по материалам модулей 1-4.

Самостоятельная подготовка

· Проработка курса лекций, учебников, методических пособий по темам лекций 1 – 17, семинаров 1 – 17

· Выполнение домашних заданий №№ 1–4.

· Подготовка к письменным работам №№ 1–4 и их написание.

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с некоторой точкой тела (полюсом) и вращение вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.

Число степеней свободы при плоском движении равно трем. Выберем точку А тела – полюс. Две координаты зададут перемещение полюса, а третья – угол поворота – вращение вокруг полюса:

,
,
.

Последние выражения называются уравнениями плоского движения твердого тела.

3.2. Скорости точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр скоростей

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Радиус вектор точкиВ
,
, так как это расстояние между двумя точками в твердом теле. Продифференцируем обе части этого равенства:
или
. Для
применим формулу производной от вектора, имеющего постоянный модуль:

– скорость точкиВ при вращении тела вокруг полюсаА . Тогда,
или
, где– вектор угловой скорости тела, он направлен по оси, проходящей через точкуА перпендикулярно к плоскости движения. Модуль– так какАВ лежит в плоскости, аперпендикулярна плоскости.

Мгновенным центром скоростей тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени угловая скорость тела
, то мгновенный центр скоростей существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
, скорость точкиА –. Проведем перпендикуляр вА к скоростии отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоР – мгновенный центр скоростей, т.е.
.

Скорость точки Р
,
, т.е.
, следовательно
, а значитР – мгновенный центр скоростей.

Пусть теперь тело совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей Р . Определим вначале скорость точкиА :,
; скорость точкиВ :
; тогда
. Следовательно скорости точек тела при плоском движении относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей.

3.3. Ускорение точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр ускорений

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Скорость точкиВ
. Продифференцируем обе части этого равенства:
. Обозначим
,
,
– угловое ускорение,
– скорость точкиВ относительно полюсаА ,. Введем обозначения:
– касательное (вращательное) ускорение точкиВ , при вращении тела вокруг полюсаА ,– вектор углового ускорения, направленный перпендикулярно к плоскости движения;– нормальное ускорение точкиB при вращении тела вокруг полюсаА . С учетом этих обозначений выражение для ускорения записывается следующим образом:
. Таким образом, ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения какой-либо другой точки тела (полюса) и ускорения точки тела при его вращении вокруг полюса. Если обозначить
, то
,
,
,
.

Мгновенным центром ускорений тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, ускорение которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени
и
, то мгновенный центр ускорений существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
,
ускорение точкиА –
. Проведем в точкеА луч под углом
к ускорению
и отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоQ – мгновенный центр ускорений, т.е.
.

Ускорение точки Q
,

,
,
,
, следовательно
, а значитQ – мгновенный центр ускорений. Тогда
,
,
.

Рассмотрим способы определения углового ускорения тела при плоском движении.

1. Если известен угол поворота
, то
.

2. Проецируя векторное уравнение
на ось, перпендикулярную ускорению точкиВ (при известных, направлении и величине
, направлении вектора
), получаем уравнение из которого определяем
и тогда
.

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои

Плоским (плоскопараллельным) назыв. такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости. Уравнения плоского движения : x A = f 1 (t), y A = f 2 (t), j = f 3 (t), точка А назыв. полюсом. Плоское движение тв.тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же, как полюс (А),и из вращательного движения вокруг этого полюса. Поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а величина и направление угла поворота не зависят.

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным. Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Если в теле провести некоторую прямую О 1 О 2 , перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском, движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.

Положение отрезка АВ, относительно системы координат определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления. Например, координаты точки А () и направление, заданное углом .

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат имеют вид: .

Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы.

называются уравнениями плоского движения твердого тела .

Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела. Положение любой точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат x и y точки М (Рис.6-3).

Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:

, (6-1)

где - длина отрезка ОМ, - постоянный угол между ОМ и осью . С учетом выражений и получаем

, (6-2)

Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки М плоской фигуры относительно координат . Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:

, (6-3)

где А – матрица поворота на плоскости:

, , , .

Разложение плоского движения на поступательное

И вращательное движения.

Теорема . Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное.

В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом. Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры 1 и 2. Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2 вокруг точки A", называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!

Вопросы по кинематике

Введение в кинематику

1. Что изучает кинематика?

2. Тело отсчета, система координат, система отсчета.

3. Пространство и время в кинематике.

4. Какими свойствами наделяется кинематическая точка?

5. Задачи кинематики.

I. Кинематика точки

1. Что означает «задать движение»? Перечислите способы задания движения.

2. Векторный способ задания движения точки.

3. Траектория точки, понятие о прямолинейном и криволинейном движениях точки.

4. Вектор скорости точки, вектор ускорения точки при векторном способе задания движения. Вектор скорости точки как производная от радиус-вектора точки. Вектор ускорения точки как первая производная от вектора скорости точки. Единицы измерения модулей вектора скорости и вектора ускорения.

5. Как направлены вектор скорости и вектор ускорения точки по отношению к траектории при векторном способе задания движения? Понятие об ускоренном и замедленном движениях.

6. Координатный способ задания движения точки.

7. Траектория точки, проекции вектора скорости и вектора ускорения точки при координатном способе задания движения точки.

8. Определение модуля вектора скорости и модуля вектора ускорения по их проекциям.

9. Связь между векторным и координатным способами задания движения.

10. Естественный способ задания движения точки. Естественные оси. Кривизна и радиус кривизны траектории (элементарные сведения из геометрии пространственной кривой).

11. Определение алгебраической скорости точки при задании ее движения естественным способом. Как по знаку алгебраической скорости можно судить о направлении движения точки по траектории?

12. Разложение вектора ускорения на касательную и нормальную составляющие. Формулы для определения алгебраических величин касательного и нормального ускорений.

13. Определение модуля вектора ускорения точки (полного ускорения точки) по известным величинам касательного и нормального ускорений точки.

14. Простейшие законы движения точки по траектории при естественном способе задания движении.

II. Поступательное движения твердого тела и вращение твердого тела относительно неподвижной оси

1. Поступательное движение твердого тела, определение. Основная теорема поступательного движения тела.

2. Как задается закон поступательного движения твердого тела.

3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращения твердого тела относительно неподвижной оси.

3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела как алгебраические величины. Единицы измерения угловой скорости и углового ускорения.

4. Закон (уравнение) равномерного вращательного движение тела. Закон (уравнение) равнопеременного вращения тела вокруг неподвижной оси.

7. Величины касательного, нормального и полного ускорения точки тела, вращающего вокруг неподвижной оси.

8. Угловая скорость и угловое ускорение тела как векторы. Как направлены эти векторы по отношению друг к другу при ускоренном и замедленном вращениях тела?

9. Выражение вектора скорости точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в виде векторного произведения.

10. Выражения векторов касательного и нормального ускорений точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, в виде векторных произведений.

III. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

1. Определение плоского движения твердого тела.

2. Закон движения (уравнения) плоского движения твердого тела.

2. Разложение движения плоской фигуры на поступательное и вращательное движения анализируя уравнения плоского движения.

3. Теорема о геометрическом сложении векторов скоростей точек плоской фигуры. Метод проекций.

4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

5. Понятие о мгновенном центре скоростей плоской фигуры. Определение положения мгновенного центра скоростей в общем случае.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры при помощи мгновенного центра скоростей.

7. Частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей.

8. Теорема о геометрическом сложении векторов ускорений точек плоской фигуры. Метод проекций.

VI. Сложное движение точки

1. Сложное движение точки - определение. Относительное движение точки, относительная траектория, относительные скорость и ускорение точки.

2. Переносное движение точки. Переносные скорость и ускорение точки.

3. Абсолютное движение точки, абсолютные траектория, абсолютные скорость и ускорение точки.

4. Теорема о сложении векторов скоростей в абсолютном движении точки. Метод проекций.

5. Теорема о сложении векторов ускорений в сложном движении точки (теорема Кориолиса). Метод проекций.

6. Величина и направление вектора Кориолисового ускорения.

7. Частные случаи, в которых ускорения Кориолиса равно нулю.

8. Физические причины, вызывающие ускорение Кориолиса.