ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — понятие, обобщающее обычное (трехмерное) пространство.
Векторное пространство определяется так. Рассматривается множество R элементов любой природы, называемых векторами, в котором установлены правила: 1) любым двум элементам х, у из R соответствует определенный 3-й элемент х+у из R, называемый суммой элементов х, у; 2) каждому элементу х из R и каждому действительному числу λ отвечает определенный элемент из R, называемый произведением λ на х и обозначаемый λ х.

Назовем это множество векторным пространством, если: 1) х+у=у+х, 2) (х+у)|+z=х+(у+z). 3) каковы бы ни были х и у, существует вектор z такой, что х+z=у, 4) λ(μх)=(λμ)х. 5) (λ+μ)х=λх+μх, 6) λ(х+у)=λх+μу, 7) 1•х=х.
Если существует система элементов из R е1, е2, . . ., еn  такая, что любой вектор х из R представляется, и притом единственным образом, в виде х=λ1е1+ λ2 е2+ ••• +λnеn , где λ12, . . . , λn — действительные числа, то множество элементов, удовлетворяющее этим свойствам, называется n-мерным векторным пространством, а система е1, е2, . . ., еn  — его базисом (см.).При этом вектор 0е1+ 0е2+ ••• +0еn называется нулевым. Простым примером векторного пространства является множество всех направленных отрезков или векторов в обычном трехмерном пространстве, с определенными обычным образом операциями сложения, вычитания и умножения на число (см. Векторное исчисление).
Другим примером векторного пространства может служить множество всех многочленов степени не выше n. Не меняя сути аксиом (1—7), можно считать λ, μ, λ12, . . . , λn элементами произвольного поля(см.), например поля комплексных чисел. В этом случае говорят о комплексном n-мерном векторном пространстве.
Нетрудно заметить, что указанные свойства векторного пространства являются обобщением свойств обычного трехмерного векторного пространства, но не всех таких свойств. Дальнейшим обобщением таких понятий, как длина вектора, скалярное произведение двух векторов, можно прийти к понятию евклидова n-мерного пространства (см.). Все эти понятия и операции могут быть обобщены и на бесконечномерный случай.
См. также Гильбертово пространство, Метрическое пространство.