Векторная алгебра

Векторная алгебраВекторная алгебра.   Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими ах, aу, az и bx, by, bz. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа ах + bx, ay + by, az + bz. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа ах + bx, ay + by, az + bz, если известно, что при изменении системы координат числа ах, aу, az переходят в ах, aу, az, а  bx, by, bz переходят в b’x, b’у, b’z? Получим ли мы после поворота координатных осей числа а’x + b‘x, а’y + b’y, а’z + b‘z? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11.5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к ах и bх и вычислим а’х + b’х, то окажется, что преобразованное ах + bх есть то же самое, что и а’х + b’х. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор с. Мы запишем это так: c = a + b.

Вектор с обладает интересным свойством:с = b + а; это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,
а + (b + с)=(а + b) + с.
Векторы можно складывать в любом порядке.
Каков геометрический смысл а + b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4. Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора b, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» b. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

361Предположим, что мы умножили вектор а на число а. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектором с компонентами αах, αау, αаz. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором —b = (—l)b. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5. На этом чертеже изображено d = a — b = а + (—b); заметим, также, что, зная векторы а и b, разность а — b можно легко найти из эквивалентного соотношения а = b + d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а — b!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, у, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор?

362Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx’/dt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:

363Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время ∆t? Ответ: на ∆r, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору ∆r = r2 — r1 расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени ∆t = t2—t1, то мы получим вектор «средней скорости».

364Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t +∆t и t, деленной на ∆t при ∆t, стремящемся к нулю:

365Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая век-гор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

Комментарии для сайта Cackle