УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ — дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые интегральные (см.) и интегро-дифференциальные уравнения. Теория уравнения математической физики является частью теории дифференциальных уравнений в частных производных и тесно связана с различными другими отделами математики (см. Краевые задачи, Аналитическая теория дифференциальных уравнений). В основном уравнения математической физики являются уравнения вида:1630где aij=aji, bi , с, f—заданные функции xl, х2, . . ., хn (n≥2). Свойства решения этих уравнений существенно зависят от знаков корней характеристического уравнения | аik —λ|=0. Если все корни имеют одинаковый знак, то уравнение (*) называют уравнением эллиптического типа, если знак одного корня противоположен знаку всех остальных n — 1 корней, то — гиперболического типа, если же один корень равен нулю, а все остальные одного знака, — то параболического типа; другие комбинации знаков корней мало изучены.
К уравнениям эллиптического типа приводит изучение различных стационарных процессов (электростатика, магнитостатика, потенциальное движение несжимаемой жидкости и т. п.). Простейшими из них являются уравнения ∆u=0 (Лапласа) и ∆u=с (Пуассона), а также уравнение, рассматривавшееся Эйлером: ∆u+ku=0, и полигармонические уравнения.
Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости. Простейшим из них является уравнение теплопроводности.
К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред и задачи об электромагнитных колебаниях. Простейшим из них является волновое уравнение1631(Эйлер, 1759).
Для уравнения1632(Трикоми, 1923) полуплоскость у>0 (—∞<x<∞) служит зоной эллиптичности, полуплоскость у<0 — гиперболичности, прямая у=0 — параболичности; это уравнение смешанного типа. Решению уравнения математической физики посвящены работы известнейших математиков: Эйлера, Даламбера, Лапласа, Римана, Фурье.