ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО — понятие, обобщающее в определенном смысле понятие метрического пространства. Топологическое пространство есть множество произвольных элементов, называемых точками топологического пространства, характеризуемых отношением «бесконечной близости». Более точно: в множестве точек топологического пространства выделяется класс множеств, называемых открытыми множествами или окрестностями, — аналог открытых множеств евклидова пространства. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее данную точку.  Требуется, чтобы объединение любой совокупности и пересечение конечного числа открытых множеств было открытым множеством. Этим определено отношение «бесконечной близости»: точка х предельная для множества М, если любая окрестность точки х содержит точку множества М. Тем самым на топологическом пространстве возможно рассмотрение непрерывных функций и непрерывных отображений. Топологическое пространство может быть определено и другими способами, например с помощью операции замыкания. Однако такое определение понятия топологического пространства слишком общее и поэтому имеет мало применений вне собственно топологии. Дальнейшим сужением понятия топологического пространства являются хаусдорфовы пространства (см.), нормальные пространства и т. п.
Примеры: 1. Любое метрическое пространство есть топологическое пространство. В самом деле, назовем множество М открытым, если оно вместе с каждой точкой х содержит все точки у пространства, удовлетворяющие условию ρ (х, у) <δ, где δ