ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений. Математическое понятие вероятности есть отражение объективной закономерности статистической устойчивости частоты, сущность которой состоит в следующем.

Пусть имеется некоторый комплекс условий К, с которым связано событие А, причем событие А при выполнении условий комплекса К может как произойти, так и не произойти. Например, К может обозначать бросание игральной кости, а событие А — выпадение единицы. Пусть комплекс К воспроизводится некоторое число n раз, из которых m раз наступает событие А (в результате n бросаний кости единица выпала m раз). Тогда частотой событий А называется отношение m : n. Явление статистической устойчивости частот состоит в том, что при больших n частота события А почти не зависит от n и близка к некоторому числу. Это число и называется вероятностью события А. В приведенном примере бросания игральной кости частота выпадения единицы при большом числе бросаний близка к 1/6, следовательно, вероятность выпадения единицы равна 1/6.

Основываясь на том, что при большом числе наблюдений частота близка к вероятности, Р. Мизес предлагал определить вероятность как предел частоты. Однако проверка того, что частота стремится к вероятности как к пределу, требует производства бесконечного числа опытов и потому неосуществима. Поэтому принять определение Р. Мизеса — значит вообще отказаться от каких бы то ни было применений теории вероятности.

Возникновение теории вероятностей связано с вопросами азартных игр (см. Петербургская игра). Важный вклад в теорию вероятностей внес Я. Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX в. теория вероятностей получает применение к анализу ошибок наблюдений. Лаплас и Пуассон доказывали первые предельные теоремы. Развитие теории вероятностей во второй половине XIX в. связано исключительно с именами русских ученых П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и А. М. Ляпунова. В это время были доказаны закон больших чисел и центральная предельная теорема (см. Предельные теоремы), а также разработана теория цепей Маркова (см.). В XX в. теория вероятностей получает весьма серьезные применения в самых различных областях науки и техники. Возникает теория случайных процессов (см.). Важнейшее значение для этой теории имеют работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина. В частности, А. Н. Колмогоровым изучены в рамках введенной им аксиоматики так называемые марковские процессы (см.).

Предельные теоремы обобщены на суммы зависимых случайных величин С. Н. Бернштейном и рядом других математиков. В конце XIX и начале XX в. создается математическая статистика (см.). См. также Статистическая проверка гипотез. В 40-х годах нашего века в теории вероятностей возникают теория информации (см.) и теория игр. Таким образом, современная теория вероятностей является весьма разветвленной наукой. В числе приложений можно указать приложения к теоретической физике (статистическая физика, квантовая теория), радиоэлектронике, теории случайных помех в линиях связи, теории автоматического регулирования при наличии случайных помех. В биологии и медицине теория вероятностей применялась главным образом для обработки результатов экспериментов. Однако в последние годы, по-видимому, наметилась возможность применения теории информации в вопросах, связанных с нервной деятельностью, а также в вопросах наследственности. Теория игр может быть применена при решении многих военных задач, а также задач, связанных с анализом экономики.