СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА

СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции f(z) —такая точка а, что1886конечный или бесконечный не существует. Точка а тогда и только тогда является существенно особой точкой для функции f(z), когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки а содержит бесконечно много членов. Поведение функции в окрестности существенно особой точки выясняет теорема, установленная русским математиком Ю. В. Сохоцким (1862): если а есть существенно особая точка функции f(z), то для любого комплексного числа A существует последовательность точек zk →a такая, что1887Иными словами, в окрестности существенно особой точки а функция f(z) стремится по различным последовательностям к любому наперед заданному пределу (конечному или бесконечному). Например, для функций e1/z, sin1/z, cos1/z начало координат является существенно особой точкой. В самом деле, разложение e1/z  в ряд Лорана1888содержит в окрестности z=0 бесконечно много членов с отрицательными степенями. Для А = ∞ последовательностью zk , служит zk =1/k (k= 1, 2, …), так как очевидно, что1889Для A=0 можно принять zk = — 1/k (k= 1, 2, …); действительно,1890Для конечного А≠0 берем1891тогда1892

Комментарии для сайта Cackle