СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ — важный частный случай функциональных рядов — ряды вида1847некоторые постоянные. Степенные ряды рассматриваются как в вещественной, так и в комплексной области. В своей области сходимости степенной ряд представляет аналитическую функцию.  Степенной ряд сходится на множестве чисел х, удовлетворяющих неравенству |х|<r и при некоторых или всех х, удовлетворяющих равенству |x|=r, где r — радиус сходимости (см.). В вещественном случае областью сходимости является интервал (—r; r), симметричный относительно х=0, а в комплексном случае областью сходимости является круг радиуса r. Граничные точки круга и интервала могут как принадлежать, так и не принадлежать области сходимости в зависимости от конкретных степенных рядов. Интервал и круг сходимости могут вырождаться в точку (r = 0), во всю прямую или плоскость комплексного переменного (r=∞).1848Существует несколько признаков сходимости степенных рядов, например признак Даламбера, Коши (см. Коши критерий) и др., а также способы определения радиусов сходимости. Степенной ряд сходится равномерно (см. Равномерная сходимость) на всяком множестве |х|≤ r1 <r, где в силу теорем анализа возможно его почленное интегрирование. Аналитические функции, являющиеся суммой степенных рядов в комплексной области, обладают некоторыми замечательными свойствами (см. Аналитические функции).

Комментарии для сайта Cackle