СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ — функция вила у= хα , где α — постоянное. Степенная функция в вещественной области определена для всех x>0, а также если α рационально, несократимо и с нечетным знаменателем для х<0. При α<0. Степенная функция определена в нуле. Степенная функция в своей области определения однозначна, кроме случаев рационального несократимого α с четным знаменателем, когда степенная функция двузначна. В таких случаях часто из двух значений степенная функция выбирается неотрицательное (арифметическое значение). (При таком соглашении √b2 = |b| равенство √b2 = b —несправедливо.) При x>0 степенная функция —возрастающая, если αα<0.1843Степенная функция имеет производные любого порядка во всей области своего определения, кроме точки х=0 при 0<α<1, когда ее первая производная обращается в бесконечность1844Интегрирование ведется по интервалу, целиком принадлежащему области определения степенной функции.

Графики степенной функции для различных значений показателя степени α представлены на рисунках 260—263. Для α=1 (рис. 273) графиком степенной функции является прямая. Для α=2 (рис. 274) графиком степенной функции является парабола. Для α=3/2 (рис. 275) графиком степенной функции является полукубическая парабола. Для α= — 1 (рис. 276) графиком степенной функции является гипербола. В комплексной области степенная функция становится, вообще говоря, многозначной (принимает бесконечное число значений). В этом случае степенная функция определяется формулой:1845где k пробегает целые действительные числа (при α целом действительном степенная функция однозначна). Из всех возможных значений степенной функции в комплексной области часто рассматривают только главное ее значение, определяемое равенством (*) при k=0 и — π < arg z < π.