СОФИЗМ

СОФИЗМ—преднамеренно неверный вывод, неверное доказательство какого-либо предложения. При этом ошибка в доказательстве бывает довольно искусно замаскирована в одной из цепей доказательства. Приведем примеры различных математических софизмов:

1. Два произвольных действительных числа а и b равны. Рассмотрим равенство: (а — b)²=(b — а)². Извлекая из обеих частей его квадратный корень, получим:
а — b=b— а; 2а = 2b; а=b.

Ошибка в «доказательстве» состоит в том, что при извлечении арифметического корня мы допускали записи1830в то время как следует писать:18312. Докажем, что 2<1. Так как (1/2)² < 1/2, то, логарифмируя обе части неравенства, получим: 2 lg 1/2 < lg 1/2, откуда, деля обе части неравенства на число lg 1/2, будем иметь: 2<1.

Ошибка в «доказательстве» заключается в том, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число мы не изменили знак неравенства.

3. Известно, что по формуле Эйлера exi =cos x+i sin х. Пользуясь этой формулой, докажем, что i=0. Полагая х=2π, получим: e2πi =cos2π + i sin2π = l; с другой стороны, е°=1; следовательно, e2πi =е°, откуда 2πi = 0. Но так как 2π≠0, то i=0.

Ошибка в «доказательстве» состоит в том, что мы не можем в комплексной области приравнивать показатели равных степеней e2πi и е°, так как функция еz в комплексной области периодическая с периодом 2πi, т. е. еz = еz + 2πni.

4. Сумма углов треугольника равна 2d. Доказательство, не опирающееся на аксиому о параллельных прямых.
Пусть сумма углов треугольника равна х. Дока-жем, что х=2d. Проведем в данном треугольнике ABC (рис. 271) любую секущую, тогда получим два треугольника ABC и BDC.1832Запишем сумму образовавшихся при этом углов:1833Так как1834то предыдущее равенство запишем так:1836так как левая часть есть х, то после преобразований получим х=2 d.

Ошибка в «доказательстве» состоит в том, что мы неявно пользуемся предложением, равносильным аксиоме параллельности, состоящей в том, что сумма углов треугольника неизменна. Известно, что такое утверждение не имеет места ни в геометрии Лобачевского, ни в геометрии Римана.

Комментарии для сайта Cackle