Случайные блуждания

Случайные блужданияСлучайные блуждания. Существует еще одна интересная задача, при решении которой не обойтись без понятия вероятности. Это проблема «случайных блужданий». В простейшем варианте эта задача выглядит следующим образом. Вообразите себе игру, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки х), либо назад (до точки — х), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе — так называемое броуновское движение — или образование ошибки при измерениях. Вы увидите, насколько проблема «случайных блужданий» тесно связана с описанным выше опытом с подбрасыванием монеты.

Прежде всего давайте рассмотрим несколько примеров, случайных блужданий. Их можно описать «чистым» продвижением Dn за N шагов. На фиг. 6.5 показаны три примера путей при случайном блуждании. (При построении их в качестве случайной последовательности решений о том, куда сделать следующий шаг, использовались результаты подбрасывания монеты, приведенные на фиг. 6.1.), (см. Флуктуации).

Что можно сказать о таком движении? Ну, во-первых, можно спросить: как далеко мы в среднем продвинемся? Нужно ожидать, что среднего продвижения вообще не будет, поскольку мы с равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением N мы все с большей вероятностью можем блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Поэтому возникает вопрос: каково среднее абсолютное расстояние, т. е. каково среднее значение |D>|? Впрочем, удобнее иметь дело не с |D|, а с D2; эта величина положительна как для положительного, так и для отрицательного движения и поэтому тоже может служить разумной мерой таких случайных блуждай.

54Можно показать, что ожидаемая величина D2N равна просто N — числу сделанных шагов. Кстати, под «ожидаемой величиной» мы понимаем наиболее вероятное значение (угаданное наилучшим образом), о котором можно думать как об ожидаемом среднем значении большого числа повторяющихся процессов блуждания. Эта величина обозначается как 55и называется, кроме того, «средним квадратом расстояния». После одного шага D2 всегда равно +1, поэтому, несомненно,

56(За единицу расстояния всюду будет выбираться один шаг, и поэтому я в дальнейшем не буду писать единиц длины.)
Ожидаемая величина для N > 1 может быть получена из DN-1. Если после (N—1) шагов мы оказались на расстоянии DN-1, то еще один шаг даст либо DN = DN-1+ 1, либо D= DN-1— 1. Или для квадратов

57Если процесс повторяется большое число раз, то мы ожидаем, что каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью 1/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметическим этих значений, т. е. ожидаемая величина D2n будет просто D2 n-1 + 1. Но какова величина D2 n-1 вернее, какого значения ее мы ожидаем? Просто, по определению, ясно, что это должно быть «среднее ожидаемое значение»

58так что

59Если теперь вспомнить, что

60то получается очень простой результат:

61Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния); для этого нужно просто извлечь квадратный корень из

55и получить так называемое «среднее квадратичное расстояние» Dck:

62Мы уже говорили, что случайные блуждания очень похожи на опыт с подбрасыванием монет, с которого мы начали эту главу. Если представить себе, что каждое продвижение вперед или назад обусловливается выпадением «орла» или «решки», то DN будет просто равно No — NP, т. е. разности числа выпадений «орла» и «решки». Или поскольку N0  + NP = N (где N — полное число подбрасываний), то DN = 2No— N. Вспомните, что раньше мы уже получали выражение для ожидаемого распределения величины No [она обозначалась тогда через k; см. уравнение (6.5)]. Ну а поскольку N — просто постоянная, то теперь такое же распределение получилось и для D. (Выпадение каждого «орла» означает невыпадение «решки», поэтому в связи между No и D появляется множитель 2.) Таким образом, на фиг. 6.2 график представляет одновременно и распределение расстояний, на которые мы можем уйти за 30 случайных шагов (k = 15 соответствует D = 0, a k = 16 соответствует D = 2 и т. д.). Отклонение No от ожидаемой величины N/2 будет равно

63откуда для среднего квадратичного отклонения получаем

64Вспомним теперь наш результат для Dck. Мы ожидаем, что среднее расстояние, пройденное за 30 шагов, должно быть равно √30 = 5,5, откуда среднее отклонение k от 15 должно быть 5,5:2 ≈ 2,8. Заметьте, что средняя полуширина нашей кривой на фиг. 6.2 (т. е. полуширина «колокола» где-то посредине) как раз приблизительно равна 3, что согласуется с этим результатом. Теперь мы способны рассмотреть вопрос, которого избегали до сих пор. Как узнать, «честна» ли наша монета? Сейчас мы можем, по крайней мере частично, ответить на него.

65Если монета «честная», то мы ожидаем, что в половине случаев выпадет «орел», т. е.

66Одновременно ожидается, что действительное число выпадений «орла» должно отличаться от √N/2 на величину порядка √N/2, или, если говорить о доле отклонения, она равна

67т. е. чем больше N, тем ближе к половине отношение N0/N.
На фиг. 6.6 отложены числа N0/N для тех подбрасываний монеты, о которых мы говорили раньше. Как видите, при увеличении числа N кривая все ближе и ближе подходит к 0,5. Но, к сожалению, нет никаких гарантий, что для каждой данной серии или комбинации серий наблюдаемое отклонение будет близко к ожидаемому отклонению. Всегда есть конечная вероятность, что произойдет большая флуктуация — появление большого числа выпадений «орла» или «решки»,—-которая даст произвольно большое отклонение. Единственное, что можно_сказать, — это если отклонения близки к ожидаемому 1/2√N (скажем, с множителем 2 или 3), то нет оснований считать монету «поддельной» (или что партнер плутует).
Мы не рассматривали еще случаи, когда для монеты или какого-тo другого объекта испытания, подобного монете (в том смысле, что возможны два или несколько достоверно непредсказуемых исхода наблюдения, например камень, кото рый может упасть только на какую-то из двух сторон), имеется достаточно оснований полагать, что вероятности разных исходов не равны. Мы определили вероятность Р(О) как отношение

68Но что принять за величину

69Каким образом можно узнать, что ожидается? Во многих случаях самое лучшее, что можно сделать, это подсчитать число выпадений «орла» в большой серии испытаний. (Как можно ожидать чего-то еще?) При этом, однако, нужно понимать, что различные наблюдатели и различные серии испытаний могут дать другое значение Р(О),отличное от нашего. Следует ожидать, однако, что все эти различные ответы не будут расходиться больше чем на 1/2√N [если Р(О) близко к половине]. Физики-экспери-ментаторы обычно говорят, что «экспериментально найденная» вероятность имеет «ошибку», и записывают это в виде

70При такой записи подразумевается, что существует некая «истинная» вероятность, которую в принципе можно подсчитать, но что различные флуктуации приводят к ошибке при экспериментальном ее определении. Однако нет возможности сделать эти рассуждения логически согласованными. Лучше все-таки, чтобы вы поняли, что вероятность в каком-то смысле— вещь субъективная, что она всегда основывается на какой-то неопределенности наших познаний и величина ее колеблется при их изменении.

Комментарии для сайта Cackle