СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ четырех точек (обозначается (ABCD)), расположенных на одной прямой, — число, равное частному от деления простых отношений трех точек:1799 Аналогично записывается сложное отношщение четырех прямых (лучей) пучка:1800 где (ас) — угол между а и с. Сложное отношение — одно из основных понятий проективной геометрии (см.) и важнейший инвариант проективных преобразований (см.), в то время как в аффиннои геометрии одним из основных инвариантов является простое отношение трех точек (прямых). В проективной геометрии доказывается, что 4 различные точки, расположенные на одной прямой, вообще говоря, образуют 6 различных значений сложного отношения: 1) (ABCD) = ν, 2) (ABDC)= 1: ν; 3) (ACBD)= 1 — ν; 4) (ACDB) = 1:(1— ν); 5) (ADВС) = 1 — (1: ν) = (ν-1)/ν; 6) (ADCB) = ν:(ν — 1).

Если ряд ℓ точек 1-го порядка проективен или перспективен пучку прямых (ряду ℓ’) [см. Проективные ряды (пучки), или Перспективные ряды (пучки)], то сложное отношение их соответственных элементов равны: (ABCD)=(abcd)=(A’B’C’D’) (рис. 265).1801Сложное отношение четырех точек используется при доказательстве ряда теорем проективной геометрии, в частности теоремы Чевы (см.) и теоремы Менелая (см.). Сложное отношение четырех элементов может равняться любому действительному числу. Если сложное отношение равно (—1), то оно называется гармоническим. Сложное отношение иначе называют двойным и реже — ангармоническим отношением.