СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов а и b — число, равное | а |·| b |·cos α, где |a|, |b| — модули векторов а и b, а α — угол между этими векторами. Скалярное произведение векторов а и b обозначается так: ab; таким образом, ab=| а |·| b |·cos α. Скалярное произведение двух векторов может быть выражено и так: ab = | а | пр. ba = | b | пр. ab , где пр. bа или пр. аb — соответственно проекция вектора b на вектор а и проекция вектора а на вектор b. Если векторы а и b имеют в прямоугольной декартовой системе на плоскости координаты а {x1, у1}, b {x2, у2}, то скалярное произведение этих векторов может быть выражено так: аb=х1х21у2 . Аналогичная формула имеет место и для пространства трех и большего числа измерений. Скалярное произведение обладает свойствами: 1) ab=ba (свойство коммутативности), 2) (αa)b = α(ab) (свойство ассоциативности относительно скалярного множителя), 3) a(b+c)=ab+ac (свойство дистрибутивности); 4) ab=0 тогда и только тогда, когда или а=0, или b=0, или а b . Если сила F на пути s прямолинейного перемещения тела совершила работу А, то работа, совершенная телом, может быть выражена скалярным произведением: A = F·s. С. п. аа=а²=а² называется скалярным квадратом. Понятие скалярное произведение находит большое применение в аналитической геометрии (см.), физике и т. д. В гильбертовых и n-мерных евклидовых пространствах скалярное произведение определяется как билинейная форма (см.), удовлетворяющая условию 4. См. также Векторное произведение.

Комментарии для сайта Cackle