СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ

СЕМЕЙСТВО ЛИНИЙ — множество линий, непрерывно зависящих от одного или нескольких параметров. Семейство линий на плоскости задается обычно уравнением вида F(х, у, С1, …, Сn )=0 (*), где х, у — координаты точек на плоскости (см.), а С1, …, Сn — параметры. При определенных значениях параметров уравнение определяет одну линию. Семейство линий может быть определено и на поверхности; в этом случае вместо х,у следует рассматривать внутренние координаты u, υ на поверхности. Семейство линий в пространстве задается чаще всего в виде уравнений:1756(в параметрическом виде). Зафиксировав значения параметров С1, …, Сn и меняя t, получаем одну из линий семейства, которую можно рассматривать как траекторию точки (х, у, z). По числу параметров различают семейства линий однопараметрические, двупара-метрические и т. д. В исследовании свойств однопараметрических семейств линий на плоскости или произвольной поверхности (удовлетворяющей лишь условию гладкости) важную роль играет понятие огибающей семейство линий дифференциальная геометрия). Обычно предполагается, что функции F, φ, ψ, χ непрерывны и непрерывно-дифференцируемы по своим аргументам. Если продифференцировать уравнение (*) n раз [считая у=у(х)] и из полученных таким путем уравнений исключить все n ( С1, С2, . . ., Сn ) параметров, то получится дифференциальное уравнение семейства линий, примером семейства линий может служить семейство интегральных кривых некоторого дифференциального уравнения (см. Общее решение). Примерами семейства линий являются: 1) однопараметрическое семейство концентрических окружностей х²+у²=С, 2) четырехпараметрическое семейство эллипсов и гипербол:17573) двупараметрическое семейство винтовых линий:1758

Комментарии для сайта Cackle