СЕДЛО

СЕДЛО (седловина) — особая точка дифференциального уравнения. Между интегральными кривыми, входящими в особую точку, находятся интегральные кривые типа гиперболы, расположенные примерно так же, как линии уровня гиперболического параболоида, имеющего форму седла. Отсюда и происходит название этого типа особых точек дифференциального уравнения (см. также Особые точки дифференциального уравнения). Пусть в окрестности ( x0, у0 ) функция f(x,y) не ограничена и не имеет единственного предела. Простеишим примером является f(x, y)=(ax+by):(cx+dy), для которой точка (0, 0) является изолированной особой точкой. В уравнении1746сделаем замену ξ = αx + βy, η = γx + δy — однородное аффинное преобразование, подбирая α, β, γ, δ так, чтобы уравнение (*) имело вид:1747при этом λ и μ будут корнями уравнения:1748Решение уравнения (**) имеет вид: η= C|ξ|μ . Если корни (***) действительные и разных знаков, то λ:μ=—k<0 и интегральные кривые даются решением η=C|ξ|-k уравнения1749Два решения ξ=0 и η=0 проходят через особую точку (0, 0), а все другие — нет. Особая точка такого типа называется седлом. Например, при1750общий интеграл (см.) ξη|=С, т. е. имеем семейство гипербол, отнесенных к осям» и две асимптоты, — они-то и проходят через особую точку (рис. 256).1751

Комментарии для сайта Cackle