РОД ПОВЕРХНОСТИ

РОД ПОВЕРХНОСТИ — целое неотрицательное число, характеризующее связность (см.) поверхности. Каждую замкнутую ориентируемую поверхность можно топологически (непрерывной деформацией без разрывов и склеиваний) отобразить на сферу с р ручками. Число р называется родом этой поверхности. Так, сфера (рис. 248, а) — поверхность рода О, тор (рис. 248, б)— рода 1, крендель (рис. 248. в) —рода 2 ит. д.; грубо говоря, Род поверхности равен числу дыр в ней. Род поверхности можно определить как наибольшее число взаимно непересекающихся простых замкнутых кривых, которые можно провести на поверхности, не разбивая ее на части (рис. 248). Если поверхность представляет собой многогранник, то его род связан с числом вершин (В), граней (Г) и ребер (Р) формулой: В + Г — P = 2(1 —р),где р —род многогранника. Для простого многогранника (см.) (р=0) получается известная формула Декарта — Эйлера : В + Г — Р = 2 (см. Эйлерова характеристика поверхности).

2080Неориентируемая замкнутая поверхность может быть представлена как сфера с h круговыми отверстиями, каждое из которых заклеено листом Мёбиуса [граница отверстия склеена с границей листа (ленты) Мёбиуса (см.)]. Число h называется родом этой поверхности. Если две поверхности имеют один и тот же род поверхности, то их можно топологически преобразовать друг в друга. Поэтому род поверхности есть ее топологический инвариант (см.); например, крендель, изображенный на рисунке 248, в, и сфера с двумя ручками имеют род 2, поэтому каждую из них можно деформировать в другую.