РИМАНОВЫ ГЕОМЕТРИИ

РИМАНОВЫ ГЕОМЕТРИИ — геометрии римановых пространств — раздел дифференциальной геометрии, изучающий свойства римановых пространств, которые могут быть выражены в терминах тензора gij . Геометрии римановых пространств в окрестности некоторой точки совпадают с геометрией Евклида до величин 1-го порядка малости включительно. Так, для измерений небольших участков на земной поверхности с большой точностью применяется евклидова геометрия. Риману же принадлежит идея вычисления длины кривой бесконечно малыми шагами. При каждом таком шаге длина кусочка кривой вычисляется в евклидовой метрике (см.):

2077но коэффициенты этой метрики меняются от точки к точке (см. Риманово пространство). В Римановых геометриях определяется некоторый аналог прямых линий евклидовой геометрии — геодезические линии. Эти линии реализуют минимум расстояния в достаточно малой области риманова пространства. Важнейшими понятиями Римановых геометрий являются кривизна риманова пространства в двумерном направлении (см. Кривизна), аффинная связность (см.), порожденная метрическим тензором gij , ковариантное дифференцирование в этой связности (см. Ковариантное дифференцирование) и тесно с ним связанный параллельный перенос. Развитие Римановых геометрий шло одновременно с развитием аппарата тензорного исчисления, созданного в основном математиками итальянской школы (Риччи, Леви-Че-вита и др.). Крупный вклад был сделан семинаром по Римановым геометриям и тензорному анализу при Московском университете (семинар основан в 1928 г. В. Ф. Каганом). Много новых идей и методов было предложено французским математиком Э. Картаном. Проблемами геометрии римановых пространств являются вопросы погружения в целом риманова пространства в евклидово, изучение специальных видов римановых пространств, в частности однородных римановых пространств, и др. Римановы геометрии с момента своего возникновения имели большую область приложения к различным задачам физики. В трудах Римана, Герца теория Римановых геометрий применялась к задаче распространения тепла в анизотропном теле, к механике и т. д. Очень важным приложением Римановых геометрий является теория относительности Эйнштейна, который показал, что пространственно-временное многообразие можно рассматривать как псевдориманово пространство четырех измерений. В свою очередь развитие теории Римановых геометрий стимулировалось запросами теории относительности.