РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО

РИМАНОВО ПРОСТРАНСТВО — гладкое многообразие, каждой точке которого задан тензор, дважды ковариантный gij ( gij — непрерывно-дифференцируемые функции точки). При помощи этого тензора определяется длина любой кривой Риманова пространства xi = xi (t), t= 1, 2, . . ., n (n — размерность Риманова пространства), а также углы, площади и т. п. Именно, эта длина равна:

2075Примеры: 1) поверхность в трехмерном евклидовом пространстве, тензор gij — первая квадратичная форма поверхности (см.); 2) поверхность k измерений в n-мерном евклидовом пространстве М = М ( u1, u2,…,un ),

2076(скобки означают скалярное произведение векторов евклидова пространства). Если дискриминант gij больше нуля, Риманово пространство называется собственно римановым. Абстрактное Риманово пространство определяется и весьма часто изучается вне связи с объемлющим его евклидовым пространством (как это имеет место в примерах 1 и 2). См. Римановы геометрии.