РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения, имеющие одни и те же корни с учетом их кратностей. Например, уравнения: а) х² — 4=0, |х| = 2 равносильные, так как они имеют одни и те же корни: х1 =—2, х2 =2; б) х — у=0, х — у+1 = 1 также равносильны; в) х²—1=0 и х—1=0 не будут равносильными, так как первое из них имеет два корня ± 1, а второе только один корень: х=1; г) (х—1)² = 0 и х—1 = 0 неравносильные, так как множества корней этих уравнений не совпадают; д) √(x — 6)(х+1) = √8 и√ х — 6 · √x+1 =√8 неравносильные, так как первое из них имеет в области действительных чисел два корня: х1 = —2,  х2 = 7, а второе только один корень: х=7; е) х=х+1 и ех——е равносильные, так как множество решений каждого из них пустое.

Вопрос о равносильных уравнениях возникает уже при решении уравнений первой степени с одним неизвестным, наиболее же полное освещение он получает при решении иррациональных уравнений (см.) и простейших трансцендентных уравнений: тригонометрических, показательных и логарифмических. Равносильные уравнения иначе называются эквивалентными. Аналогично определяется и равносильность систем уравнений: системы уравнений называются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений. Например, системы уравнений х — у = 5, х+у=7 и х — 2у=4, х=6 являются равносильными, так как они имеют одно и то же решение: х=6, у=1.

Равносильные уравнения можно определить и так: уравнения (или системы) называются равносильными, если каждое решение первого уравнения (или системы) является решением второго уравнения (или системы), и наоборот.