РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ

РАВНОМЕРНО НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ: 1°. Равномерно непрерывная функция от одной переменной называется равномерно непрерывной функцией на отрезке а≤х≤b (интервале, множестве), если для любого εδ1 и х2 из отрезка (интервала, множества), отстоящих друг от друга меньше чем на δ х1 — x2 | < δ), выполняется неравенство: | f( х2 ) — f( х1 )| <ε.

Равномерно непрерывная функция на отрезке (интервале, множестве) непрерывна на этом отрезке (интервале, множестве). Функция, непрерывная на отрезке, является равномерно непрерывной функцией на этом отрезке; для интервала а<х<b это утверждение может быть неверным: например, у = tg х непрерывна на интервале 0<х<0,5π, но не является равномерно непрерывной функцией на этом интервале.

2°. Равномерно непрерывная функция от нескольких переменных u=f( x1, …. ,xn )=f (р) называется равномерно непрерывной функцией на множестве D, если для любого εδ1 и Р2, ρ(P1, Р2)<δ выполняется неравенство | f (Р1) — f(P2) |<ε, где ρ(P1, Р2) обозначает расстояние (см.) между точками Р1 и Р2 в n-мерном пространстве.

Если функция u = f(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она является равномерно непрерывной функцией в этой области. Справедлива теорема: функция, непрерывная в каждой точке компактного множества, является равномерно непрерывной функцией на этом множестве. Для некомпактных множеств такая теорема неверна.