РАСХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ

РАСХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ — интеграл вида

2022такой, что

2023равен ±∞ или же отсутствует вовсе, где f (х) определена в промежутке [а, ∞] и интегрируема в любой его части [a, А]. Такой расходящийся интеграл называют также несобственным, в отличие от интеграла в собственном смысле. Например,

2024являются расходящимися интегралами, так как первый вообще не имеет значения на верхнем пределе (sin x при х→∞ не стремится ни к какому пределу), а второй равен бесконечности.

Если подынтегральная функция f (х) внутри промежутка интегрирования [а, b] обращается в бесконечность в точке с, то интеграл

2025понимают в смысле предела:

2026Если этот предел конечен, то интеграл сходится, если бесконечен (т. е. равен ±∞) или его нет совсем, то имеем расходящийся интеграл.
Существуют методы, позволяющие в некоторых случаях и расходящимся интегралам приписывать обобщенные значения. Если f (х) определена для х≥0 и интегрируема в обычном смысле в любом конечном промежутке [0, х], но не интегрируема в промежутке [0, ∞], и если существует конечный предел

2027то это число I и считают обобщенным значением интеграла, a f(x) — интегрируемой в обобщенном смысле. Например:

2028его среднее значение2029имеет предел2030равный нулю; следовательно, расходящийся интеграл в обобщенном смысле равен нулю.

Если для f (х) интеграл

2031не существует, но сходится интеграл,2032и существует конечный предел2033
то этот предел можно также рассматривать как обобщенное значение интеграла, расходящегося в обычном смысле. Например:2034Снова получили для обобщенного значения интеграла2035
(см. Интеграл).