ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО

ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО — евклидово пространство, дополненное бесконечно удаленными (несобственными) точками, бесконечно удаленными прямыми, бесконечно удаленной плоскостью. Каждая прямая дополняется только одной бесконечно удаленной точкой, каждая плоскость — одной бесконечно удаленной прямой и все пространство — одной бесконечно удаленной плоскостью. В проективной пространстве нет параллельных прямых и плоскостей: любые две прямые проективной плоскости пересекаются; любая плоскость пересекается со всякой прямой, не принадлежащей плоскости; любые две плоскости пересекаются по прямой.

Проективное пространство может быть определено и аксиоматически как совокупность объектов трех родов: точек, прямых и плоскостей, для которых определены отношения принадлежности и порядка так, что выполняются определенные требования системы аксиом проективной геометрии (см.).

Проективное пространство может быть определено и как совокупность точек ( х1234) четверок пропорциональных чисел, из которых хотя бы одно не равно нулю, являющихся однородными координатами (см.) текущей точки М. Две четверки чисел ( х1234 ) и ( λх1:λх2:λх3:λх4 ), гдеλ≠ 0, определяют одну и ту же точку проективного пространства. В проективном пространстве собственные и несобственные элементы (точки, прямые, плоскости) совершенно равноправны по своим свойствам.