Принципы динамики Галилея

Принципы динамики ГалилеяПринципы динамики Галилея. С чего приходилось начинать в области динамики? По существу, с самого начала. Надо было установить основные понятия кинематики: перемещение, скорость, ускорение. Надо было дать научную классификацию движений. И, наконец, надо было изучить причины, обусловливающие тот или иной вид движения, т. е. установить законы динамики. Ибо эти причины кроются как во внешней физической обстановке, так и во внутренних свойствах движущихся тел. Раскрыть, что зависит от внутренних, свойств тела и что от внешней обстановки, это значит прийти, в конце концов, к установлению таких фундаментальных понятий динамики, как масса и сила. И хотя уже самим творцам динамики была ясна неравноправность этих понятий, было ясно, что категория силы является вспомогательным математическим понятием, тем не менее, введение этой категории являлось необходимостью. Физика этой эпохи была механикой, других форм движения не знали. Процесс преобразования форм движения одних в другие был сложен и скрыт. Видимым оставалось только то, что механическое движение могло возникать, могло уничтожаться, могло изменяться. Надо было поставить, хотя бы и формально, вопрос о причине этих изменений — силе. Такая постановка вопроса являлась безусловно необходимой и прогрессивной, ибо, отвлекая внимание исследователя от беспочвенных фантастических спекуляций, она сосредоточивала внимание на точном описании явлений, позволяла ввести в механику математический анализ. Этот шаг был тем более естественным, что он прямо примыкал к учению о причинах Аристотеля и, следовательно, был достаточно привычным. Однако, повторяем, передовые деятели эпохи ясно ощущали методологическую несостоятельность этого понятия и отнюдь не были склонны канонизировать понятие силы. Вокруг снятия силы, и прежде всего дальнодействуюшей силы тяготения, разгорелась дискуссия, сложившая начало знаменитому спору о дальнодействии и близкодействии.

Но в эпоху Галилея эта дискуссия ещё не развернулась. На очереди прежде всего стоял вопрос о системе отсчета. Как известно, первым вопросом кинематики является описание положения простейшего объекта — точки. Математическая схема такого описания — система координат — дана Декартом. Но как обстоит дело с реальными движениями? Старая астрономия знала абсолютный покой и абсолютное движение. Тело, покоящееся относительно Земли, абсолютно покоится, движущееся относительно Земли — абсолютно движется. Существуют, следовательно, принципиально отличные друг от друга истинный покой и истинное движение. Мы уже указывали, что Кузанский первым выступил против такой концепции, защищая принцип относительности движения, провозгласив отсутствие неподвижного центра вселенной. Ему следовал Бруно. Коперник первым переместил систему отсчёта на Солнце и описал астрономические явления с точки зрения солнечного наблюдателя. Этот шаг был чрезвычайно плодотворным для астрономии, сложные петли и узлы движения планет были распутаны. Для физики шаг, сделанный Коперником, имел то фундаментальное значение, что выдвинул вопрос о влиянии движения системы отсчёта на ход процессов, изучаемых в этой системе. Аргументация птоломеевцев зиждилась на обычных представлениях о неощутимости движения Земли. Галилей, оценивший как астроном преимущества системы Коперника, был поставлен перед необходимостью ответить на эту аргументацию. Его аргументация в пользу системы Коперника была настолько блестящей и неотразимой, что в науке установилось соглашение: систему отсчёта, связанную с центром солнечной системы, называть галилеевой. Но тот же Галилей установил факт огромной принципиальной важности: любая система отсчёта, находящаяся в равномерном и прямолинейном движении относительно галилеевой, равноправна с ней в отношении описания механических процессов. Гали-леева система и системы, находящиеся относительно нбё в равномерном-и прямолинейном движении, называются инерциалъными системами отсчёта, так как в них справедлив закон инерции (как и другие законы Ньютона). Все инерциальные системы равноправны, — так можно формулировать факт, установленный Галилеем. Сам Галилей выражает этот принцип в «Диалогах» следующим замечательно наглядным образом:

«С а л ь в и а т и. Заключите себя с каким-нибудь приятелем в возможно просторном помещении под палубою большого корабля и пустите туда мух, бабочек и других подобных маленьких летающих животных. Пусть будет там также большой сосуд с водою и в нём рыбки. Повесьте также на потолок ведро, из которого капля за каплей вытекала бы вода в другой сосуд с узким отверстием, находящийся внизу под ним. Пока не движется корабль, наблюдайте, как эти летающие животные с равною быстротой будут летать во все стороны комнаты. Увидите, что рыбы будут плавать, безразлично во все стороны; падающие капли будут попадать все в подставленный сосуд. И вы, бросая приятелю какую-нибудь вещь, не будете принуждены употреблять большую силу для того, чтобы бросить её в одну сторону, чем в другую, если только расстояния одинаковы. Прыгая, вы будете проходить одинаковые пространства во все стороны, куда бы вы ни прыгали. Наблюдайте хорошенько за всем этим, и заставьте привести в движение корабль с какою угодно быстротой. Если движение будет равномерно, то вы не заметите ни малейшей перемены во всех указанных действиях и ни по одному из них не в состоянии будете судить, движется ли корабль, или стоит на месте. Вы, прыгая, будете проходить по полу те же самые пространства, как и прежде, т. е. вы не сделаете, вследствие того, что корабль движется весьма быстро, больших прыжков к корме, чем к носу корабля, хотя в то время, когда вы находитесь в воздухе, пол, находящийся под вами, бежит к части, противоположной вашему прыжку. Бросая вещь товарищу, вам не нужно с большею силой бросать её, если он будет около носа корабля, вы же около кормы, чем наоборот. Капли будут падать, как прежде, в нижний сосуд, и ни одна не упадёт по направлению к корме, несмотря на то, что в то время как капля находится в воздухе, корабль уходит вперёд на несколько локтей. Рыбы в своей воде не с большим трудом будут плавать к одной, чем к другой, стороне сосуда и будут приходить с одинаковою ловкостью к пище, положенной на какое угодно место крап сосуда. Наконец, бабочки и мухи будут летать попрежнему во все стороны и не будут держаться более около той стены, которая ближе к корме, как будто устали следовать за быстрым ходом корабля, от которого они, находившись долго в воздухе, как будто разъединены. И, если зажжёте несколько ладана, то дым пойдёт вверх и будет держаться в виде облачка и безразлично двигаться в ту или другую сторону. А причина того, что все эти действия так соответствуют одно другому, заключается в том, что движение корабля обще всему находящемуся в нём — и воздуху. Для этого нужно, говорил я, чтобы мы находились под палубой».

Следующим шагом, предпринятым Галилеем, было установление рациональной классификации движений. Перипатетическая схема разделяла движения на насильственные и естественные. Неудовлетворительность этой классификации уже ощущалась передовыми деятелями науки. Всё, что совершается в природе, должно совершаться в силу естественных законов — вот основная идея нового мировоззрения. «Для меня, — говорит Сальвиати в «Диалоге», — движение вверх сообщённого телу стремления столь же естественно, как движение вниз от тяжести». Но для новой научной классификации движений необходимо было установить чётко основные характеристики движения: скорость и ускорение.

Конечно, было бы заблуждением думать, что до Галилея наука не знала этих понятий. Понятие о скорости формируется из непосредственных наблюдений реальных движений («быстроногий Ахиллес» и черепаха). Ускоренный характер движения падающего тела был известен Аристотелю. С XIV в. эффективно развивается прикладная кинематика. Расчёты скоростей передаточных механизмов, например у Кардана, производились вполне строго. Но это была кинематика равномерных движений. Обобщение понятия скорости на случай неравномерного движения принадлежит Галилею. И Галилею принадлежит разделение движений на равномерные и неравномерные.

При этом Галилей ограничивается рассмотрением прямолинейных движений. Но он знает принцип суперпозиции движений и криволинейное движение брошенного тела рассматривает как результат совокупного выполнения двух прямолинейных движений. Поэтому способ Галилея является вполне общим. Прежде всего Галилей даёт чёткое определение равномерного движения, под которым он понимает такое движение, в котором «расстояния, проходимые движущимся телом в любые равные промежутки времени, равны между собой».

Уточнением обычного понятия равномерного движения является слово, «любые», означающее, что скорость равномерного движения не зависит от времени, постоянна. Однако в этом определении ничего ещё не говорится о направлении скорости. Этот пробел встречается и в галилеевой формулировке закона инерции.

Для неравномерных движений скорость зависит от времени и в каждый момент своя. И это представление об истинной скорости в данный момент целиком принадлежит Галилею. По Галилею скорость в данный момент может быть определена скоростью тела, движущегося равномерно с приобретённой в данный момент скоростью. Установление функциональной связи между скоростью и временем — важнейшая заслуга Галилея. Мысль о том, что падающее тело проходит, начиная с нулевой, все степени скорости до окончательной скорости падения, была новой и трудной. Галилей настойчиво развивает эту мысль и в «Диалоге» и в «Беседах» (Discorsi).

В «Диалоге» Сагредо спрашивает:

«Значит, падающее сверху ядро, в течение менее десяти ударов пульса проходящее более двухсот локтей, во время движения своего проходило такую степень скорости, что, сохранись бы она, оно бы в целый день не достигло земли?

Сальвиати. Можете сказать в год, в десять, в тысячу лет».

Это возражение Сагредо повторяет и в «Беседах».

«… надлежит признать, что для промежутков времени, всё более и более близких к моменту выхода тела из состояния покоя, мы придём к столь медленному движению, что при сохранении постоянства скорости тело не пройдёт мили ни в час, ни в день, ни в год, ни даже в тысячу лет; даже в большее время оно не продвинется и на толщину пальца, — явление, которое весьма трудно себе представить, особенно, когда наши чувства показывают, что тяжёлое падающее тело сразу же приобретает большую скорость».

Сальвиати опровергает доводы Сагредо ссылкой на более точный опыт. К этому опыту (скорость падения тяжёлого тела измеряется деформацией мягкой пластинки, на которую падает тело) мы ещё вернёмся. Кроме того, Сальвиати указывает, что тело, брошенное вверх, проходит в обратном порядке все степени скорости до полной остановки. Симпличио на этот последний пример возражает, что невозможно исчерпать бесконечной последовательности степеней медленности, и таким образом тело никогда не остановится (возражение вполне аналогичное апориям Зенона). Сальвиати возражает:

«Это случилось бы синьор Симпличио, если бы тело двигалось с каждою степенью скорости некоторое определённое время; но оно только проходит через эти степени, не задерживаясь более чем на мгновение, а так как в каждом даже самом малом промежутке времени содержится множество мгновений, то их число является достаточным для соответствия бесконечному множествv уменьшающихся степеней скорости».

Этот ответ Сальвиати замечателен в двух отношениях. Прежде всего Галилей здесь порывает со статичностью движения, с рассмотрением его как суммы покоев. Движущееся тело проходит через каждое своё состояние. Во-вторых, Галилей здесь отчетливо переносит идею взаимно-однозначного соответствия на сравнение бесконечных совокупностей — идея, которая впоследствии была развита Кантором в его теории множеств, послужившей обоснованием анализа. В другом месте своих «Бесед» Галилей прямо высказывает положение (опираясь на ту же идею взаимно-однозначного соответствия), что всех чисел натурального ряда «столько же», сколько полных квадратов чисел. Отсюда ясно, что Галилей глубоко и тонко понимал трудности математического описания движений, так как полное логическое преодоление этих трудностей ведёт к обоснованию новой ветви математики: математического анализа.

Возвращаясь к галилееву определению скорости, следует отметить важность установленной им связи между скоростью и временем. Сам Галилей было пошёл сначала по пути установления связи между скоростью и путём. Опыт измерения скорости по деформации мягкой пластинки, произведённой падающим телом, как раз и иллюстрирует такую связь

(Из теоремы живых сил: mv2 / 2  = f • s вытекает, что углубление s пропорционально квадрату скорости.)

Размышляя над следующим по сложности типом движения, Галилей было пришёл к выводу, что таким движением будет движение со скоростью, пропорциональной пройденному пути. Галилей, однако, понял ошибочность этого шага и пошёл другим путём. Этот путь Галилею кажется самым естественным. «Подобно тому, как равномерность движения, — говорит он, — мыслилась и определялась нами посредством равенства времени и расстояния… и приращение скорости мы проще всего можем представить себе, как происходящее в соответствии с такими же равными промежутками времени. Умом своим мы можем признать такое движение единообразным и неизменно равномерно ускоряющимся, так как в любые равные промежутки времени происходят и равные приращения скорости».

Так формируется второе важное понятие кинематики: скорость изменения скорости — ускорение. Простейшим видом ускоренного движения будет равномерно ускоренное:

«Равномерно или единообразно ускоренным движением называется такое, при котором в равные промежутки времени прибавляются и равные моменты скорости».

Галилей ставит вопрос о причинах, обусловливающих тот или иной характер движения. Прежде всего встаёт вопрос: почему в равномерном движении тело сохраняет свою скорость? Перипатетики считали, что скорость поддерживается насильственно. Галилей подходит к мысли, что это естественное свойство тел. В «Диалоге» Сальвиати ставит вопрос о движении тела по наклонной плоскости вниз. Симпличио отвечает, что такое движение будет ускоренным. Сальвиати ставит далее вопрос о движении тела по наклонной плоскости вверх. Итоги дискуссии он подводит в следующих выражениях:

«Таким образом, вы изобразили, кажется мне, движение тела на двух различных плоскостях. На наклонной плоскости, говорили вы, тяжёлое тело движется вниз ускоренным движением и, чтобы его удерживать в покое, требуется употребить силу; на восходящей плоскости сила, напротив того, требуется, чтобы гнать его вверх, а также, чтобы его там удержать. Сообщённое ему движение, говорили вы далее, при этом постоянно ослабевает, пока не прекратится совсем. Далее вы утверждали ещё, что в том и другом случае на движение влияет покатость и отлогость плоскости: при большей покатости скорость движения значительнее, чем при меньшей, а при той же силе данное тело по восходящей плоскости подымается тем дальше, чем меньше наклон. Теперь скажите, что будет с тем же телом на плоскости, которая ни вниз не спускается, ни вверх не подымается».

В результате ответов выясняется, что тело, получившее толчок, в отсутствии сопротивлений будет двигаться столько времени, «сколько хватит плоскости, не представляющей ни спуска, ни подъёма».

«Сальвиати. Если, значит, длина её будет бесконечна, то и движение будет без границ, т. е. вечно».

В «Беседах» этот вывод зафиксирован в следующих выражениях:

«Когда тело движется по горизонтальной плоскости, не встречая никакого сопротивления, то… движение его является равномерным и продолжалось бы бесконечно — если бы плоскость простиралась в пространстве без конца».

Недостаток формулировки Галилея заключается в том, что он не может отвлечься от действия тяжести и в «Диалоге» приходит к выводу, что такой бесконечной «плоскостью» является поверхность земного шара. Но убеждение в законе сохранения скорости у него уже сложилось прочно и находит своё выражение в сформулированном им принципе суперпозиции (наложения) движений. В приведённом месте из «Бесед» он продолжает:

«Если же плоскость конечна и расположена высоко, то тело, имеющее вес, достигнув конца плоскости, продолжает двигаться далее таким образом, что к его первоначальному, равномерному, беспрепятственному движению присоединяется другое, вызываемое силою тяжести, благодаря чему возникает сложное движение, слагающееся из равномерного горизонтального и естественного ускоренного движения».

Обратим здесь внимание на то, что ускорение падения Галилей объясняет действием силы тяжести. Это весьма важное открытие: ускорение является результатом действия силы. При этом Галилей отчётливо указывает, что кроме указанного действия других влияний на движение сила не оказывает (отсюда и вытекает принцип суперпозиции). В естественном ускоренном движении тело в любой момент получает одно и то же ускорение под действием данной силы, хотя скорость его в каждый момент разная: действие силы на тело не зависит от состояния его движения.

В «Диалоге» Галилей высказывается по этому вопросу с величайшей ясностью: ядро, выпущенное из руки одновременно с выстрелом из пушки, достигает земли (при условии пренебрежения сопротивлением) одновременно с вылетевшим горизонтально из пушки ядром.

«Не замечательная ли вещь, — говорит Сагредо, — что в то самое малое время которое требуется для вертикального падения на землю с высоты каких-нибудь ста локтей, ядро, силою пороха выброшенное из пушки, пройдёт четыреста, тысячу, четыре тысячи, десять тысяч локтей, — так что при всех горизонтально направленных, выстрелах останется в воздухе одинаковое время».

И камень, брошенный с мачты движущегося корабля, и мяч, выпущенный из рук скачущего всадника, ведут себя одинаково с вылетевшим из дула пушки ядром: сохраняют свою скорость и уступают действию силы так, как если бы они покоились. Именно этим объясняется невозможность из механических явлений, наблюдаемых внутри равномерно движущейся системы, обнаружить движение этой системы. Так закон инерции, закон действия силы, принцип суперпозиции и принцип относительности сплетаются у Галилея в единое целое, представляющее собой фундамент динамики.

В качестве конкретных задач динамики Галилей рассматривает ускоренное движение и движение тела, брошенного горизонтально.

Галилей прежде всего разрушает перипатетическое заблуждение, что скорость падения тяжёлого тела пропорциональна весу. Его знаменитый опыт с падением тел разного веса хорошо известен. Менее известна логическая аргументация, которой Галилей доказывает несостоятельность точки зрения Аристотеля. Пусть большой камень падает с некоторой скоростью, скажем 8 единиц. Эта скорость вполне, по Аристотелю, определена его весом и высотой падения. Пусть малый камень падает со скоростью 4 единицы. Если сложить эти камни, то скорость, с одной стороны, должна быть, меньше 8 единиц (её уменьшает малый камень), с другой стороны, поскольку камень весит больше, она должна быть, по Аристотелю, больше 8 единиц. Получается противоречие, которое можно устранить допущением, что тела, падают с одинаковым ускорением.

При этом Галилей делает очень тонкое замечание. Груз, положенный на другой груз, увеличивает его вес, если они оба покоятся на чашке весов. Но если оба груза падают свободно, то давления верхнего груза на нижний нет. Свободно падающий груз «не весит».

«Мы чувствуем тяжесть на плечах, когда сопротивляемся движению, к которому стремится давящая тяжесть, — говорит Сальвиати, — но если бы мы опускались, с такой же скоростью, с какой перемещается свободно падающий груз, то каким образом тяжесть могла бы давить на нас? Не видите ли вы, что это подобно тому, как если бы мы хотели поразить копьём кого-либо, кто бежит впереди нас с равною или большею скоростью. Выведите из этого заключение, что при свободном и естественном падении малый камень не давит на большой и, следовательно, не увеличивает его веса, как то бывает при покое».

Галилей, впервые уяснивший это важное обстоятельство, делает из него вывод о независимости ускорения тяжести от веса. «Песчинка должна падать с такой же быстротой, как мельничный жернов», — говорит Сальвиати. Причина неодинаковости падения кроется не в действии силы тяжести, а в побочных обстоятельствах: сопротивлении окружающей среды. Открытый Галилеем факт, как показал впоследствии Ньютон, означает пропорциональность веса и массы или равенство инертной и гравитационной (тяжёлой) массы. Этот факт имеет большое практическое значение, давая удобный способ сравнения масс взвешиванием, но он же, как это выяснил Эйнштейн, имеет и крупное теоретическое значение, послужив: основой для создания теории тяготения.

Итак, все свободно падающие тела имеют одинаковое ускорение. Скорость в таком падении растёт пропорционально времени. Отсюда Галилей следующим изящным методом находит закон пути. Он доказывает, что путь, проходимый в свободном падении за какой-либо промежуток времени, равен пути, проходимому в равномерном движении за тот же промежуток времени со скоростью, равной половине конечной скорости свободного падения.

94Положим, что отрезок АВ (рис. 73) представляет собой время, в течение которого проходится при свободном падении путь CD. Скорости в отдельные моменты времени изображаются отрезками перпендикуляров к АВ. Скорость в конце промежутка изобразится отрезком ЕВ. Разделив отрезок пополам, проведём через середину F прямую FG, параллельную АВ, и через начальную точку А прямую AG, параллельную BF. «Сумма параллельных линий (отрезков скорости), заключённых в четерёхугольнике AGFB, равна сумме тех же линий, заключённых в треугольнике АЕВ»… «ясно, что все моменты скорости ускоренного движения представлены возрастающими параллельными линиями треугольника АЕВ, Рис. 73. а равномерного движения — аналогичными линиями параллелограма AGFB; то, чего недостает моментам в первое время движения (т. е. моментам, представленным параллельными линиями, заключёнными в треугольнике AGI), возмещается моментами, представленными параллельными линиями треугольника IEF. Отсюда следует, что два тела пройдут равные расстояния в одно и то же время, если одно, выйдя из состояния покоя, будет двигаться равномерно-ускоренно, а другое просто равномерно со скоростью, равной половине максимальной степени скорости, достигнутой при ускоренном движении». Отсюда легко получить закон пропорциональности пути квадрату времени. Галилей получает этот закон обычным для того времени методом отношения. В современной форме вывод Галилея получается просто. Если отрезок АВ = t, и ускорение равно а, то скорость ЕВ = at. Путь

9695Далее Галилей доказывает закон пропорциональности путей, проходимых за последовательные равные промежутки времени, ряду нечётных чисел. Пусть отрезки AC, CI, I0 линии АО (рис. 74) представляют собой последовательные равные промежутки времени, отрезки СВ, IF, OP представляют конце этих промежутков. Путь, пройденный за время АС, представляется прямоугольником ADEC, где ЕС = 1/2 ВС. Если бы во второй момент времени сохранилась скорость ВС, то путь, пройденный за этот момент, представился бы прямоугольником BCIG = = 2ADEC. Но скорость нарастает и в продолжение момента CI, и к пути ABGI прибавляется ещё путь, представляемый треугольником BGF, или, что то же самое, треугольником ABC, равным по площади прямоугольнику ADEC. Таким образом, за второй момент времени проходится путь, втрое больший пути, пройденного за первый момент. Аналогично доказывается, что путь, пройденный за третий промежуток времени, равен пятикратному пути, пройденному за первый момент, и т. д. В этом доказательстве очень отчётливо выступает идея наложения (суперпозиции) движений. В каждый момент движение составляется из равномерного движения со скоростью, полученной в предшествующий момент, и равноускоренного движения без начальной скорости.

Галилей не ограничился теоретическими доказательствами и приступил к их опытной проверке. Дело это было чрезвычайно трудное. Непосредственная проверка законов для свободного падения была по существу невозможна, ввиду отсутствия надёжных и удобных часов. Необходимо было получить меньшие ускорения, и Галилей воспользовался для этой цели наклонной плоскостью. Прежде чем перейти к описанию этих классических опытов, мы должны сделать два замечания.

1. Мы уже упоминали, что понятие «силы» ещё не выкристаллизовалось у Галилея. «Груз», «усилие» — обычные понятия статики — были, конечно, ему знакомы. Но Галилею было также ясно, что эффект действия сил зависит от наличия связи, от плеча. Далее Галилея интересовал конечный результат, получающийся при совокупности действия тяжести и начального толчка, как, например, высота подъёма брошенного тела.

97В связи со всем этим Галилей, наряду с термином «сила», пользуется терминами: «момент», «импульс», «энергия», «работа». Эти термины не совпадают, как правило, с ныне употребляемой терминологией и часто употребляются в различных смыслах. Однако в каждом конкретном случае можно понять, какое значение вкладывает Галилей в употребляемый им термин.

2. Эта неустойчивость терминологии объясняется главным образом тем, что в положениях Галилея мы встречаем зерно всех принципов механики. Принцип инерции и действия силы у него сочетается с теоремой живых сил и принципом возможных перемещений. Галилей оценивает действие силы в двояком отношении: по создаваемой ею скорости в течение данного промежутка времени и по способности преодолевать данное сопротивление (деформация мягкой пластинки, забивка свай, высота подъёма брошенного тела). Эта двоякая оценка действия силы в дальнейшем выявилась в споре о двух мерах движения. Мы ознакомились уже с результатами Галилея, полученными из первой оценки действия силы. Опытная проверка этих результатов приводит ко второй оценке её действия.

Теорию движения тела на наклонной плоскости Галилей начинает с доказательства положения, которое на современном языке означает консервативность силы тяжести. Положение это (опять-таки в современной форме) гласит: работа силы тяжести не зависит от формы пути, а только от разности высот конечных точек пути. Современная механика учит, что такая независимость работы силы от формы пути тождественна с применимостью к этим силам закона сохранения механической энергии (отсюда и термин «консервативные» силы — для них сохраняется механическая энергия, тогда как для «диссипативных» сил механическая энергия рассеивается, переходит в другие формы). Консервативный характер силы тяжести Галилей доказывает классическим опытом с маятником («маятник Галилея») и формулирует в следующих выражениях:

«Степени скорости, приобретаемые одним и тем же телом при движении по наклонным плоскостям, равны между собой, если высоты этих наклонных плоскостей одинаковы».

Пусть на гвозде А подвешен маятник АВ (рис. 75). Если маятник отвести в положение АС и отпустить, то он в отсутствии сопротивления займёт положение AD, «импульс, приобретённый в точке В маятником, спускающимся по дуге СВ, достаточен для того, чтобы поднять этот шарик по такой же дуге на ту же высоту». Если вбить гвоздь в точке Е, то оказывается, «что шарик достигнет в точке G той же самой горизонтали; то же произойдёт, если мы вобьём гвоздь ниже, например в точке F, в каковом случае шарик опишет дугу BI, остановившись в своём движении опять на той же линии CD». Галилей заключает: «все моменты, заставляющие тело подниматься по дугам BD, BG, ВI, равны между собою, так как все они возникли из одного и того же момента, приобретённого, как показывает опыт, при падении по дуге СВ; отсюда ясно, что все моменты, развивающиеся при падении по дугам DB, GB и IВ, равны между собою».

98Здесь термины «импульс» и «момент» употреблены в смысле энергии. Галилей указывает, что тот же вывод имеет силу и для наклонной плоскости. Галилей связывает этот принцип с принципом возможных перемещений и выводит из него закон равновесия тела на наклонной плоскости. Ход мыслей Галилея таков. Он указывает на хорошо известный факт «что моменты или скорости одного и того же движущегося тела различны при различном наклоне плоскости и что наибольшими из них являются те, при которых движение совершается по линии, перпендикулярной к горизонту; при всяком другом наклоне скорости уменьшаются по мере того, как плоскость удаляется от вертикального положения и становится всё менее наклонной. Таким образом, импульс, способность, энергия или, скажем момент падения уменьшаются в движущихся телах плоскостью, находящейся под ними, на которую они опираются и по которой скользят». Следовательно, из различно наклонённых к горизонту плоскостей (рис. 76) АВ, AD, АЕ, AF, АС наибольшим «импульсом» будет обладать тело на вертикальной плоскости АВ и нулевым «импульсом» — на горизнтальной плоскости АС. Если теперь через блок F, укрепленный на вершине наклонной плоскости ACF, перекинуть нить с грузами Си Н на концах, то, очевидно, при всяком перемещении грузов длины путей, проходимых ими вдоль плоскости и по вертикали, будут одинаковы. Если грузы G и Н уравновешивают друг друга, то работы, совершаемые ими при любом возможном перемещении, должны быть одинаковыми. Но горизонталь не оказывает сопротивления движению, и Галилей заключает, что когда «тело G, передвигаясь от А до F, преодолевает лишь сопротивление подъёму на величину вертикали CF, то другое тело Н неизбежно опускается по вертикали на всё расстояние AF, и подобное соотношение их подъёма или спуска остаётся неизменным, как бы ни было мало или велико перемещение этих тел (ибо они связаны вместе). Поэтому мы с уверенностью можем утверждать, что когда наступает равновесие и оба тела приходят в состояние покоя, то моменты скорости и склонность их к движению, т. е. пространства, которые они прошли бы в одинаковые промежутки времени, должны относиться друг к другу обратно их весам, согласно тому, что доказывается для всяких других случаев механического движения. Таким образом, для предотвращения падения тела G достаточно, чтобы тело Н имело вес, во столько раз меньший веса первого тела, во сколько раз длина CF меньше длины FА».

Другими словами, галилеев вывод закона наклонной плоскости основан на равенстве работ Н · CF = G · AF.

Полученный результат даёт возможность Галилею, варьируя высоту и длину наклонной плоскости, получать ускорения достаточно малые, чтобы можно было подвергнуть опытной проверке найденные им законы равноускоренного движения. С этой целью им была изготовлена деревянная доска около 12 локтей длины и шириной в пол-локтя (около 30 см), в доске был проделан жёлоб, по которому скатывался бронзовый шарик. Время измерялось следующим образом: большое ведро наполнялось водой, в дне ведра было узкое отверстие, через которое тонкой струйкой вытекала вода в подставленный бокал. Весом воды, набежавшей в бокал, и измерялось время движения. Заставляя шарик при данном наклоне плоскости скатываться с различных положений, можно было проверить закон пропорциональности пути квадрату времени.

Пользуясь законом наклонной плоскости и законом ускоренного движения, Галилей нашёл теоретически ряд интересных следствий. Он показал, что времена ската тяжёлой точки по хордам, проведённым из высшей точки круга с вертикальным диаметром, одинаковы и равны времени падения точки по этому диаметру. Он показал далее, что время ската тяжёлой точки по дуге меньше, чем время ската по стягивающей её хорде. Правда, Галилей ошибочно полагал, что дуга окружности является вообще линией быстрейшего по времени ската между двумя точками, не лежащими на одной горизонтали. (Линия быстрейшего ската была найдена И. Бернулли и оказалась циклоидой. Задача о линии быстрейшего ската называется задачей о брахистохроне.) Точно так же Галилей ощибочно полагал, что дуга окружности обладает свойством таутохронности, т. е. тяжёлая точка, скатываясь по дуге окружности, должна достигать её наинизшей точки за одно и то же время из любого положения. Это убеждение он подкрепил опытным наблюдением над изохронностью колебаний маятника. Однако закон изохронности колебаний маятника справедлив только для небольших дуг (не превышающих 5—6°) и таутохронной, как это показал впоследствии Гюйгенс, является не окружность, а циклоида.

Рассмотрев ускоренное движение, Галилей обращается к рассмотрению сложного движения брошенного тела. При этом руководящим предположением является для него то, «что движение в поперечном направлении остаётся всегда равномерным, движение же, обусловливаемое естественным падением, одновременно сохраняет свою особенность нарастания пропорционально квадрату времени, и что такие движения и скорости слагаются, но не мешают и не препятствуют друг другу». Галилей доказывает, что результатом суперпозиции этих движений будет парабола. С поразительной тонкостью он замечает, что этот вывод является приближённым: во-первых, не учтено сопротивление воздуха и, во-вторых, не принято во внимание изменение направления силы тяжести, так что все вертикали считаются параллелями. Он указывает, что наибольших отступлений реальных траекторий от параболы следует ожидать для артиллерийских снарядов. В частности, прй больших скоростях чрезвычайно возрастает роль сопротивления воздуха, что иллюстрируется следующим опытом:

«Выстрелим отвесно вниз свинцовой пулей из аркебуза с высоты ста и более локтей в каменную мостовую, а затем выстрелим из того же аркебуза в ту же мостовую с расстояния одного или двух локтей и посмотрим, какая из двух пуль окажется более сплющенной.

… Я сам не производил такого опыта, но склонен думать, что с какой бы большой высоты ни был произведён выстрел, пуля, выпущенная из аркебуза, и ядро, выпущенное из орудия, никогда не произведут такого удара, какой получается при выстреле в стену с расстояния в небольшое число локтей».

То есть прирост скорости, получаемый пулей при свободном падении с высоты, не в состоянии скомпенсировать убыли скорости вследствие сопротивления воздуха. Результаты Галилея, изложенные в беседе 4-го дня, позволяют считать его отцом весьма важной для военного дела науки — внешней баллистики.