ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГРУППЫ — отображение Р группы G на некоторое множество неособенных квадратных матриц порядка n, удовлетворяющее условиям: P(g1,g2) = P(g1) P(g2), P(g-1) = P(g)-1 для любых g1, g2, g-1 из G. Элементы g1·g2 и g-1 означают умножение и обратный элемент в группе, а P(g1)· P(g2) и P(g-1) — умножение матриц и обратную матрицу. Говоря более абстрактно, представление группы есть гомоморфизм (см.) группы в группу всех невырожденных матриц порядка n. Число n называется размерностью представления группы. При выборе определенного базиса в n-мерном линейном пространстве (см.) L матрицы Р (g),

1347задают линейные преобразования этого пространства. Если существует собственное ненулевое подпространство (см.)

1349такое, что

1348то говорят, что представление группы приводимо, в противном случае представление группы называют неприводимым. К настоящему времени теория представления группы является развитой теорией, лежащей на стыке алгебры, функционального анализа и дифференциальной n-мерной геометрии. Крупные результаты получены здесь Дж. Юнгом, Э. Картавом, Г. Вейлем, И. Шуром, И. М. Гельфандом.

Примеры: 1) Группа подстановок (см.) из 3 элементов (123), (132), (213), (231), (312), (321) получает представление группы, если положить:

13502) любая группа G имеет представление группы, определяемое равенством:

1351Здесь Е — единичная матрица порядка n. Такое представление группы называется тривиальным.