Поле тяготения больших тел

Поле тяготения больших телПоле тяготения больших тел. Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть а, а масса единицы площади этой плоскости есть μ. Пусть μ будет постоянной: cлой однороден. Какой же величины поле dC создается массой dm, удаленной от О не ближе, чем на ρ, и не дальше, чем на ρ + dρ (О — это точка плоскости, ближайшая к Р)? Ответ: dC = G (dmr/r3).

Но оно, это поле, направлено вдоль r, а мы понимаем, что из трех составляющих С после сложения всех dС должна остаться лишь x-составляющая. Она равна

445Все массы dm, которые находятся на одном и том же расстоянии r от Р, дадут одно и то же значение dCx, так что за dm можно сразу принять массу всего кольца между ρ

446и ρ + , т. е. dm = μ2πρdρp (2πρdρ — это площадь кольца радиусом ρ и шириной при dρ << ρ). Итак,

447Но ρdρ = rdr из-за -того, что r2 = ρ2 + а2. Поэтому

448Стало быть, сила не зависит от расстояния а! Почему? Не ошиблись ли мы? Казалось бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет! Если точка находится вплотную к плоскости, то большая часть вещества притягивает ее под , неудачными углами, а если вдалеке, то у большей части вещества притяжение направлено прямее к плоскости. На любом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же конусе под тем же углом оказывается больше вещества, а рост количества вещества тоже пропорционален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан более строгим, если заметить, что дифференциал вклада любого данного конуса не зависит от расстояния в результате противоположных изменений напряженности поля данной массы и количества самой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет знак.

Мы решили, кстати, и задачу по электричеству: мы доказали, что у заряженной пластины, каждая единица площади которой несет заряд σ, электрическое поле равно σ/2εео и направлено от пластины, если она заряжена положительно, и к ней, если она заряжена отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в законе тяготения G играет ту же роль, что 1/4 πεо в электричестве.

А теперь пусть имеются две пластины, одна с положительным зарядом + σ, а другая с отрицательным — σ (на единицу площади), и пусть промежуток между ними равен D. Каково же поле этих пластин? Снаружи пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них отталкивает, а другая притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния; значит, силы уничтожаются! А вот поле между пластинами  вдвое больше, чем поле одной пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно Е = σ/εo.

Перейдем теперь к еще более интересному и важному вопросу; впронем, мы давно уже ответили на него, предположив, что сила притяжения Земли в точке на ее поверхности

449или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась в ее центре. Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая далека и т. д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом, что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку, стянулась к своему центру!

Мы теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать это, разобьем Землю на тонкие сферические слои. Пусть вся масса сферы равна m. Давайте рассчитаем потенциальную энергию частицы массы m’ на расстоянии R от центра сферы (фиг. 13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса m сферы вся собралась в ее центре. (Легче иметь дело с потенциальной энергией, чем с напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать потенциальные энергии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и пусть х — расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска толщиной dx находится на одном и том же расстоянии r от точки Р, а потенциальная энергия притяжения этого пояска равна —Gm’dm/r. Сколько же массы содержится в пояске dx? Вот сколько:

450где μ = m/4πа2 — поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

451Но мы видим, что

452Значит,

453или

454Поэтому

455и получится

456Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m‘, внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты.; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре! .

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a + R) — (a — R) = 2R (двойное расстояние от Р до центра). Другими словами, теперь W становится равной W = —Gmm’/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.

Комментарии для сайта Cackle