Спектр импульсной последовательности. Электрические и временные параметры прямоугольных импульсов. Спектры сигналов с импульсной модуляцией
В данном разделе мы рассмотрим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, как одного из важнейших сигналов, используемого в практических приложениях.
Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , длительности секунд следующих с периодом секунд, как это показано на рисунке 1
Рисунок 1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Единица измерения амплитуды сигнала зависит от физического процесса, который описывает сигнал . Это может быть напряжение, или, сила тока, или любая другая физическая величина со своей единицей измерения, которая меняется во времени как . При этом, единицы измерения амплитуд спектра , , будут совпадать с единицами измерения амплитуды исходного сигнала.
Тогда спектр , , данного сигнала может быть представлен как:
Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов представляет собой множество гармоник с огибающей вида
.
Свойства спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Рассмотрим некоторые свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Постоянная составляющая огибающей может быть получена как предел:
Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя :
Где называется скважностью импульсов и задает отношение периода повторения импульсов к длительности одиночного импульса.
Таким образом, значение огибающей на нулевой частоте равно амплитуде импульса деленной на скважность. При увеличении скважности (т.е. при уменьшении длительности импульса при фиксированном периоде повторения) значение огибающей на нулевой частоте уменьшается.
Используя скважность импульсов выражение (1) можно переписать в виде:
Нули огибающей спектра последовательности прямоугольных импульсов можно получить из уравнения:
Знаменатель обращается в ноль только при , однако, как мы выяснили выше
, тогда решением уравнения будет
Тогда огибающая обращается в ноль если
На рисунке 2 показана огибающая спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (пунктирная линия) и частотные соотношения огибающей и дискретного спектра .
Рисунок 2. Cпектр периодической последовательности прямоугольных импульсов
Также показаны амплитудная огибающая , амплитудный спектр , а также фазовая огибающая и фазовый спектр .Из рисунка 2 можно заметить, что фазовый спектр принимает значения когда огибающая имеет отрицательные значения. Заметим, что и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости равной .
Пример спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов
Пусть входной сигнал представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов амплитуды , следующих с периодом секунды и различной скважностью . На рисунке 3а показаны временные осциллограммы указанных сигналов, их амплитудные спектры (рисунок 3б), а также непрерывные огибающие спектров (пунктирная линия).
Рисунок 3. Cпектр периодической последовательности
прямоугольных импульсов при различном значении скважности
а — временные осциллограммы; б — амплитудный спектр
Как можно видеть из рисунка 3, при увеличении скважности сигнала, длительность импульсов уменьшается, огибающая спектра расширяется и уменьшается по амплитуде (пунктирная линия). В результате, в пределах главного лепестка увеличивается количество гармоник спектра .
Спектр смещенной во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Выше мы подробно изучили спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов для случая, когда исходный сигнал являлся симметричным относительно . В результате спектр такого сигнала является вещественным и задается выражением (1). Теперь мы рассмотрим, что произойдет со спектром сигнала если мы сместим сигнал во времени,как это показано на рисунке 4 .
Рисунок 4. Сдвинутая во времени периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Смещенный сигнал можно представить как сигнал ,
задержанный на половину длительности импульса
.
Спектр смещенного сигнала можно представить
согласно свойству
циклического временного сдвига
как:
Таким образом, спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, смещенной относительно нуля, не
является чисто вещественной функцией, а приобретает дополнительный фазовый множитель
.
Амплитудный и фазовый
спектры показаны на рисунке 5.
Рисунок 5. Амплитудный и фазовый спектры сдвинутой во времени периодической последовательности прямоугольных импульсов
Из рисунка 5 следует, что сдвиг периодического сигнала во времени не изменяет амплитудный спектр сигнала, но добавляет линейную составляющую к фазовому спектру сигнала.
Выводы
В данном разделе мы получили аналитическое выражение для спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов.
Мы рассмотрели свойства огибающей спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов и привели примеры спектров при различном значении скважности.
Также был рассмотрен спектр при смещении во времени последовательности прямоугольных импульсов и показано, что смещение во времени изменяет фазовый спектр и не влияет на амплитудный спектр сигнала.
Москва, Советское радио, 1977, 608 c.Дёч, Г. Руководство по практическому применению преобразования Лапласа. Москва, Наука, 1965, 288 c.
С выхода источника сообщений поступают сигналы, несущие информацию, а также тактовые, используемые для синхронизации работы передатчика и приемника системы передачи. Информационные сигналы имеют вид непериодической, а тактовые- периодическойпоследовательности импульсов.
Для правильной оценки возможности передачи таких импульсов по каналам связи определим их спектральный состав. Периодический сигнал в виде импульсов любой формы можно разложить в ряд Фурье согласно (7).
Для передачи по воздушным и кабельным линиям связи применяются сигналы различной формы. Выбор той или иной формы зависит от характера передаваемых сообщений, частотного спектра сигналов, частотных ивременных параметров сигналов. Большое применение в технике передачи дискретных сообщений получили сигналы, близкие по форме к прямоугольным импульсам.
Вычислим спектр, т.е. совокупность амплитуд постоянной и
гармонических составляющих периодических
прямоугольных импульсов (рисунок 4,а)
длительностью
и периодом.
Поскольку сигнал является четной
функцией времени, то в выражении (3) все
четные гармонические составляющие
обращаются в нуль (
=0),
а нечетные составляющие принимают
значения:
(10)
Постоянная составляющая равна
(11)
Для сигнала 1:1 (телеграфные точки) рисунок 4а:
,
.
(12)
Модули амплитуд спектральных составляющих
последовательности прямоугольных
импульсов с периодом
приведены на рис. 4,б. По оси абсцисс
отложены основная частота повторения
импульсов
()
и частоты нечетных гармонических
составляющих
,
и т.д. Огибающая спектра изменяется по
закону.
При увеличении периода ,по сравнению с длительностью импульса,число гармонических составляющих в спектральном составе периодического сигнала увеличиваются. Например, для сигнала с периодом (рисунок 4,в)получаем, что постоянная составляющая равнаи
В полосе частот от нуля до частотырасполагается пять гармоническихсоставляющих (рисунок 4,г), в то время как прилишь одна.
При дальнейшем
увеличении периода повторения импульсов
число гармонических составляющих
становится все больше и больше. В
предельном случае когда
сигнал становится непериодической
функцией времени, число его гармонических
составляющих в полосе частот от нуля
до частотыувеличивается
до бесконечности; расположены они будут
набесконечноблизких
расстояниях по частоте;спектр непериодического
сигналастановится
непрерывным.
Рисунок 4
2.4 Спектр одиночного импульса
Задан одиночный видеоимпульс (рисунок 5):
Рисунок 5
Метод рядов Фурье допускает глубокое и плодотворное обобщение, позволяющее получать спектральные характеристики непериодических сигналов. Для этого мысленно дополним одиночный импульс такими же импульсами, периодически следующими через некоторый интервал времени , и получим изученную ранее периодическую последовательность:
Представим одиночный импульс как сумму периодических импульсов с большим периодом .
,
(14)
где - целые числа.
Для периодического колебания
.
(15)
Для того, чтобы вернуться к одиночному импульсу, устремим к бесконечности период повторения: . При этом, очевидно:
,
(16)
Обозначим
.
(17)
Величиной называется спектральная характеристика (функция) одиночного импульса (прямое преобразование Фурье). Она зависит только от временного описания импульсаи в общем виде является комплексной:
,
(18) где
; (19)
; (20)
,
где
-
модуль спектральной функции
(амплитудно-частотная характеристика
импульса);
-
фазовый угол, фазо-частотная характеристика
импульса.
Найдем для одиночного импульса по формуле (8), используя спектральную функцию:
.
Если , получим:
.
(21)
Полученное выражение называется обратным преобразованием Фурье.
Интеграл Фурье определяет импульс в виде бесконечной суммы бесконечно малых гармонических составляющих, расположенных на всех частотах.
На этом основании говорят о непрерывном (сплошном) спектре, которым обладает одиночный импульс.
Полная энергия импульса (энергия, выделяемая на активном сопротивлении Ом) равна
(22)
Изменяя порядок интегрирования, получим
.
Внутренний интеграл есть спектральная
функция импульса
,
взятая при аргументе -,
т.е. представляет собой комплексно
сопряженную свеличину:
Следовательно
Квадрат модуля (произведение двух сопряженных комплексных чисел равно квадрату модуля).
В этом случае условно говорят, что спектр импульса является двусторонним, т.е. размещается в полосе частот от до.
Приведенное соотношение (23), устанавливающее связь между энергией импульса (на сопротивлении 1 Ом) и модулем его спектральной функции известно под названием равенство Парсеваля.
Оно утверждает, что энергия, заключенная в импульсе , равна сумме энергий всех составляющих его спектра. Равенство Парсеваля характеризует важное свойство сигналов. Если некоторая избирательная система пропускает только часть спектра сигнала, ослабляя другие её составляющие, то это означает, что часть энергии сигнала теряется.
Так как квадрат модуля является четной функцией переменной интегрирования , то удвоив значение интеграла можно ввести интегрирование в пределах от 0 до:
.
(24)
При этом говорят, что спектр импульса размещается в полосе частот от 0 до и называется односторонним.
Подынтегральная величина в (23) называется энергетическим спектром (спектральная плотность энергии) импульса
Она характеризует распределение энергии по частоте, и её значение на частоте равно энергии импульса, приходящейся на полосу частот, равной 1 Гц. Следовательно, энергия импульса есть результат интегрирования энергетического спектра сигнала по всему диапазону частот отдо.Иначе говоря, энергия равна площади, заключённой между кривой, изображающей энергетический спектр сигнала и осью абсцисс.
Для оценки распределения энергии по спектру пользуются относительной интегральной функцией распределения энергии (энергетической характеристикой)
,
(25)
где
-
энергия импульса в заданной полосе
частот от 0 до,
которая характеризует долю энергии
импульса, сосредоточенную в интервале
частот от 0 до.
Для одиночных импульсов различной формы выполняются следующие закономерности:
Периодические и непериодические сигналы, форма которых отличается от синусоидальной, обычно называют импульсными сигналами
. Процессы генерации, преобразования, а также вопросы практического применения импульсных сигналов относятся сегодня ко многим областям электроники.
Так, например, ни один современный блок питания не обходится без расположенного на его печатной плате генератора прямоугольных импульсов, такого например как на микросхеме TL494, выдающей импульсные последовательности с параметрами, подходящими для текущей нагрузки.
Поскольку импульсные сигналы могут иметь различную форму, то и называют различные импульсы в соответствии с похожей по форме геометрической фигурой: прямоугольные импульсы, трапецеидальные импульсы, треугольные импульсы, пилообразные импульсы, ступенчатые, и импульсы разных других форм. Между тем, наиболее часто практически применяются именно прямоугольные импульсы . О их параметрах и пойдет речь в данной статье.
Конечно, термин «прямоугольный импульс» несколько условен. В силу того что ничего идеального в природе не бывает, как не бывает и идеально прямоугольных импульсов. На самом деле реальный импульс, который принято называть прямоугольным, может иметь и колебательные выбросы (на рисунке показаны как b1 и b2), обусловленные вполне реальными емкостными и индуктивными факторами.
Выбросы эти могут, конечно, отсутствовать, однако существуют электрические и временные параметры импульсов, отражающие в числе прочего «неидеальность их прямоугольности».
Прямоугольный импульс имеет определенную полярность и рабочий уровень. Чаще всего полярность импульса положительна, поскольку подавляющее большинство цифровых микросхем питаются положительным, относительно общего провода, напряжением, и следовательно мгновенное значение напряжения в импульсе всегда больше нуля.
Но есть, например, компараторы, питаемые двухполярным напряжением, в таких схемах можно встретить разнополярные импульсы. Вообще микросхемы, питаемые напряжением отрицательной полярности, не так широко применяются, как микросхемы с обычным положительным питанием.
В последовательности импульсов рабочее напряжение импульса может принимать низкий или высокий уровень, причем один уровень с течением времени сменяет другой. Уровень низкого напряжения обозначают U0, уровень высокого U1. Наибольшее мгновенное значение напряжения в импульсе Ua или Um, относительно начального уровня, называется амплитудой импульса .
Разработчики импульсных устройств зачастую оперируют активными импульсами высокого уровня, такими как показанный на рисунке слева. Но иногда практически целесообразно применить в качестве активных импульсы низкого уровня, для которых исходное состояние - высокий уровень напряжения. Импульс низкого уровня показан на рисунке справа. Называть импульс низкого уровня «отрицательным импульсом» - безграмотно.
Перепад напряжения в прямоугольном импульсе называют фронтом, который представляет собой быстрое (соизмеримое по времени со временем протекания переходного процесса в цепи) изменение электрического состояния.
Перепад с низкого уровня к высокому уровню, то есть положительный перепад, называют передним фронтом или просто фронтом импульса. Перепад от высокого уровня к низкому, или отрицательный перепад, называют срезом, спадом или просто задним фронтом импульса.
Передний фронт обозначают в тексте 0.1 или схематически _|, а задний фронт 1.0 или схематически |_.
В зависимости от инерционных характеристик активных элементов, переходный процесс (перепад) в реальном устройстве всегда занимает некоторое конечное время. Поэтому полная длительность импульса включает в себя не только времена существования высокого и низкого уровней, но также времена длительности фронтов (фронта и среза), которые обозначаются Тф и Тср. Практически в любой конкретной схеме время фронта и спада можно увидеть при помощи .
Так как в реальности моменты начала и окончания переходных процессов в перепадах очень точно выделить непросто, то принято считать за длительность перепада промежуток времени, во время которого напряжение изменяется от 0,1Ua до 0,9Ua (фронт) или от 0,9Ua до 0,1Ua (срез). Так и крутизна фронта Кф и крутизна среза Кс.р. задаются в соответствии с данными граничными состояниями, и измеряются в вольтах в микросекунду (в/мкс). Непосредственно длительностью импульса называют промежуток времени, отсчитываемый от уровня 0,5Ua.
Когда рассматривают в общем процессы формирования и генерации импульсов, то фронт и срез принимают по длительности за ноль, поскольку для грубых расчетов эти малые временные промежутки оказываются не критичны.
Это импульсы, следующие друг за другом в определенном порядке. Если паузы между импульсами и длительности импульсов в последовательности равны между собой, то это периодическая последовательность. Период следования импульсов Т - это сумма длительности импульса и паузы между импульсами в последовательности. Частота f следования импульсов - это величина обратная периоду.
Периодические последовательности прямоугольных импульсов, кроме периода Т и частоты f, характеризуются еще парой дополнительных параметров: коэффициентом заполнения DC и скважностью Q. Коэффициент заполнения - это отношение времени длительности импульса к его периоду.
Скважность - это отношение периода импульса ко времени его длительности. Периодическая последовательность скважности Q=2, то есть такая, у которой время длительности импульса равно времени паузы между импульсами или у которой коэффициент заполнения равен DC=0,5, называется меандром.
Рассмотрим
периодическую последовательность
импульсов прямоугольной формы с периодом
Т, длительностью импульсов
и максимальным значением
.
Найдем разложение в ряд такого сигнала,
выбрав начало координат как показано
на рис. 15. при этом функция симметрична
относительно оси ординат, т.е. все
коэффициенты синусоидальных составляющих
=0,
и нужно рассчитать только коэффициенты
.
-
0
T
t
постоянная
составляющая
(28)
Постоянная
составляющая – это среднее значение
за период, т.е. это площадь импульса
,
деленная на весь период, т.е.
,
т.е. то же, что получилось и при строгом
формальном вычислении (28).
Вспомним,
что частота первой гармоники 1 =
,
где Т – период прямоугольного сигнала.
Расстояние между гармониками= 1 .
Если номер гармоники n
окажется таким, что аргумент синуса
,
откуда
.
Номер гармоники, при котором амплитуда
ее обращается в ноль первый раз, называют«первым
нулем»
и
обозначают его буквой N,
подчеркивая особые свойства этой
гармоники:
(29)
с
другой стороны, скважность S
импульсов – это отношение периода Т к
длительности импульсов t u ,
т.е.
.
Следовательно «первый нуль» численно
равен скважности импульсаN
=
S
.
Поскольку синус обращается в ноль при
всех значениях аргумента, кратных ,
то и амплитуды всех гармоник с номерами,
кратными номеру «первого нуля», тоже
обращаются в ноль. То есть
при
,
гдеk
– любое целое число. Так, например, из
(22) и (23) следует, что спектр прямоугольных
импульсов со скважностью 2 состоит
только из нечетных гармоник. Поскольку
S
=2
,
то и N
=2
,
т.е. амплитуда второй гармоники первый
раз обращается в ноль – это «первый
нуль». Но тогда и амплитуды всех остальных
гармоник с номерами, кратными 2, т.е. все
четные тоже должны обращаться в ноль.
При скважности S=3
нулевые амплитуды будут у 3, 6, 9, 12,
….гармоник.
С увеличением скважности «первый нуль» смещается в область гармоник с большими номерами и, следовательно, скорость убывания амплитуд гармоник уменьшается. Простой расчет амплитуды первой гармоники при U m =100В для скважности S =2, U m 1 =63,7B, при S =5, U m 1 =37,4B и при S =10, U m 1 =19,7B, т.е. с ростом скважности амплитуда первой гармоники резко уменьшается. Если же найти отношение амплитуды, например, 5-й гармоники U m 5 к амплитуде первой гармоники U m 1 , то для S =2, U m 5 /U m 1 =0,2, а для S =10, U m 5 / U m 1 = 0,9, т.е. скорость затухания высших гармоник с ростом скважности уменьшается.
Таким образом, с ростом скважности спектр последовательности прямоугольных импульсов становится более равномерным.
2.5. Спектры при уменьшении длительности импульса и периода сигнала.
Регулировать скважность S = T / t n можно либо изменением длительности импульса t n при T =const, либо изменением периода Т при t n =const. Рассмотрим спектры сигналов при этом.
T =const, t n =var. Частота первой гармоники f 1 =1/ T = const и f = f 1 = const. Первый нуль N = T / t n и по мере укорочения импульса t n смещается в область гармоник с большими номерами. При t n 0 N , спектр получается дискретным и f = f 1 , бесконечно широкий и с бесконечно малыми амплитудами гармоник.
t n =const, T =var. Будем увеличивать период Т , тогда частота первой гармоники f 1 и расстояние между спектральными линиями f будут уменьшаться. Так как f = f 1 =1/Т , то спектральные линии будут смещаться в область более низких частот и «плотность» спектра возрастет. Если Т , то сигнал из периодического становится непериодическим (одиночный импульс). В этом случае f 1 = f 0, т.е. спектр из дискретного превращается в непрерывный, состоящий из бесконечно большого числа спектральных линий, находящихся на бесконечно малых расстояниях друг от друга.
Отсюда следует правило: периодические сигналы порождают дискретные (линейчатые) спектры, а непериодические – сплошные (непрерывные).
При переходе от дискретного спектра к непрерывному ряд Фурье заменяется интегралом Фурье. Наиболее просто эта замена выполняется, если использовать запись ряда Фурье в комплексной форме (16) и (17). Интеграл Фурье для непрерывного спектра записывается
, (30)
где
(31)
Функция F (j ) называется спектральной функцией или спектральной плотностью , которая зависит от частоты. Формулы (30) и (31) называют в совокупности односторонним преобразованием Фурье , которое является частным случаем более общего преобразования Лапласа и получается заменой в преобразовании Лапласа комплексной переменной р на j .
Спектральную
функцию можно представить как огибающую
коэффициентов ряда Фурье, т.е. как предел
линейчатого спектра периодической
функции при Т
.
Функция F
(j
)
может быть действительной или комплексной.
Считая в общем случае
,
мы получаем две частотные характеристики:
-амплитудный
спектр
, т.е.
зависимость амплитуды спектральных
составляющих от частоты, и
(
)
– фазовый
спектр
, т.е.
закон изменения фазы спектральных
составляющих сигнала от частоты. Можно
показать, что амплитудный
спектр – всегда четная, а фазовый спектр
– всегда нечетная функция
.
Спектральную функцию для многих
непериодических сигналов (одиночных
импульсов различной формы) наиболее
легко и просто находить с помощью таблиц
оригиналов и изображений в преобразовании
Лапласа, которые приводятся в учебной
и справочной литературе. После нахождения
изображения по Лапласу F
(p
)
для заданной непериодической функции
f
(t
)
,
спектральная функция находится
(32)
Итак,
согласно (30) непериодическая функция
f
(t
)
представляется совокупностью бесконечно
большого числа гармоник с бесконечно
малыми амплитудами
во всем диапазоне частот от -
до +,
т.е. представление f
(t
)
в виде интеграла Фурье подразумевает
суммирование незатухающих гармонических
колебаний бесконечного сплошного
спектра частот.
описание лабораторной установки
Работа выполняется на блоке «Синтезатор сигнала», функциональная схема которого приведена на рис. 16.
Блок содержит генераторов Г1-Г6 шести первых гармоник сигнала. Частота первой гармоники равна 10 кГц. Гармонический сигнал с выхода n-го генератора через фазовращатель Ф n и аттенюатор А n поступает на сумматор. Фазовращателями задают начальные фазы n гармоник, а аттенюаторами – их амплитуды А n .
На выходе сумматора в общем случае получается сумма шести гармоник сигнала
.
С выхода сумматора сигнал подается на вход Y осциллографа. Для его внешней синхронизации используется специальный импульсный сигнал, подаваемый с гнезда «Синхр.» на вход Х осциллографа. Для установки и контроля амплитуд гармоник предусмотрена возможность отключения любой из гармоник. Включив только генератор n-ой гармоники, можно установить ее амплитуду аттенюатором А n и оценить ее значения с помощью осциллографа. Каждый фазовращатель с помощью переключателя позволяет установить требуемое дискретное значение начальной фазы гармоники, либо отключить генератор.
Лабораторная работа №1.
Представление периодических импульсных
Сигналов рядом Фурье.
Цель работы – Изучение спектрального состава периодической последовательности импульсов прямоугольной формы при различных частотах следования и длительности импульсов.
Введение
Для, передачи хранения и обработки информации используются периодические импульсные сигналы, которые могут быть математически представлены рядами Фурье. Существует временное рис.1 и частотное представление электрических сигналов рис.2.
Рис.1. Временная форма представления периодической
последовательности прямоугольных импульсов.
Представление сигнала во временной области позволяет определить его параметры, энергию, мощность и длительность. Для представления сигналов в частотной области в виде спектра используется преобразования Фурье. Знание частотных свойств позволяет решать задачи идентификации характеристик сигнала (определение его наиболее информативных параметров), фильтрации (выделение полезного сигнала на фоне помех), выбора частоты дискретизации непрерывного сигнала. Одним из важнейших параметров сигнала является ширина частотного спектра, т. к. именно этот параметр оказывается определяющим при согласовании сигнала с аппаратурой обработки и передачи информации.
Основные формулы и определения.
Периодическую функциюu(t) с периодом T можно представить рядом Фурье
(1)
Колебание 
с частотой называется первой гармоникой; (n =1) колебание 
с частотой - второй гармоникой (n =2), 
c частотой - n-й гармоникой.
Выражение (1) с использованием тождества
может быть переписано в виде
, (2)
Коэффициенты и определяется по формулам
Величина выражает среднее значение функции за период, она, называется также постоянной составляющей и вычисляется по формуле
Формулы (3) решают задачу анализа : по заданной периодической функции нужно найти коэффициенты Фурье и . Формулы (1) и (2) решают задачу гармонического синтеза : по заданным коэффициентам и нужно найти периодическую функцию .
Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов
Совокупность амплитуд и частот гармонических составляющих называютамплитудной-частотной характеристикой
(АЧХ), а зависимость от частот гармоник фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
Амплитудно-частотный спектр прямоугольных импульсов может быть представлен графически рис.2. 
Рис.2. АЧХ и ФЧХ периодической последовательности
прямоугольных импульсов.
Пусть , представляющая последовательность прямоугольных импульсов рис.1 с амплитудой , длительностью и периодом описывается уравнением
Тогда амплитуды и фазы для гармонических составляющих определяются уравнением:
(4)
Величина называется скважностью и обозначается буквой . Тогда уравнения (4) принимают вид
где n =1, 2, … . (5)
Для вычисления мощности сигналов представленных рядом Фурье в теории информации используют формулы в которых значение сопротивление R = 1 Ом. В этом случае напряжения u и токи i равны, поскольку i = u/R.
Мощность постоянной составляющей Р 0 будет
а мощность переменной составляющей Р n для n-й гармоники
(6)
Формула для результирующей мощности примет вид
ЗАДАНИЕ
1. Выполните анализ периодической последовательности прямоугольных импульсов
1.1 По номеру варианта N, полученного у преподавателя, определите из таблицы 1 значение скважности и круговой частоты .
Таблица 1
| №, вар | q | , рад/с | №, вар | q | , рад/с |
| 3,24 | 47,25 | 8,50 | 69,22 | ||
| 6,52 | 97,50 | 6,72 | 78,59 | ||
| 5,93 | 14,45 | 2,30 | 19,44 | ||
| 7,44 | 15,12 | 3,59 | 37,96 | ||
| 1,87 | 70,93 | 4,48 | 78,27 | ||
| 5,46 | 91,65 | 2,99 | 42,48 | ||
| 6,40 | 86,40 | 6,18 | 75,45 | ||
| 1,27 | 48,98 | 1,81 | 57,64 | ||
| 2,97 | 40,13 | 3,22 | 15,46 | ||
| 1,09 | 85,95 | 3,66 | 55,25 | ||
| 2,13 | 57,30 | 3,27 | 27,58 | ||
| 7,99 | 66,90 | 4,64 | 3,68 | ||
| 4,61 | 31,55 | 3,71 | 43,73 | ||
| 1,95 | 25,24 | 4,33 | 70,44 | ||
| 2,66 | 6,61 | 3,38 | 52,07 | ||
| 1,10 | 18,37 | 6,92 | 26,17 | ||
| 4,06 | 70,24 | 4,95 | 55,52 | ||
| 2,40 | 35,10 | 6,51 | 82,64 | ||
| 9,42 | 33,96 | 3,32 | 68,07 | ||
| 6,13 | 43,25 | 7,75 | 32,49 | ||
| 7,36 | 52,37 | 5,71 | 26,68 | ||
| 2,33 | 24,84 | 2,42 | 96,02 | ||
| 2,18 | 25,34 | 16,99 | 88,59 | ||
| 5,80 | 12,99 | 62,23 | 50,21 | ||
| 1,68 | 41,16 | 37,54 | 20,70 |
1.2 а) Определите 11 первых значений коэффициентов u n (n=0, 1, 2, ... , 10), считая Е=1 В, используя электронные таблицы "Exel" (или калькулятор, или другой программный продукт) по формулам (5) и и внесите их в соответствующую строку u n таблицы 2.
1.3 б) Вычислите мощности p n и запишите их в таблицу 2.
Таблица 2
| w | w 1 | 2w 1 | … | 10w 1 | |
| u n | u 0 | u 1 | u 2 | … | u 10 |
| j n | j 1 | j 2 | j 3 | … | j 10 |
| p n | p 0 | p 1 | p 2 | p 10 |
и графика амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) рис.3, а).
1.4 Постройте фазо-частотную характеристику (ФЧХ) периодической последовательности импульсов подобно рис.2) в которой изменение знака u n эквивалентно сдвигу фазы на p.
1.5 Вычислите удельную (на сопротивлении 1 Ом) мощность спектра первых 10 гармоник по формуле
.
2. Задача синтеза.
2.1. Используя уравнение (1), представьте сумму первых 10 гармоник подставив в виде уравнения
по вычисленным в таблице значениям u n для , , , …. и постройте временную зависимость на периоде Т, например.
из таблицы 3
в виде графика 4 во временном диапазоне одного периода Т= , используя текущее время t = nD t - t/2, с шагом где n=0,1,2, … ,10 , показанного на рис. 3 .
Рис. 3. Временной интервал для синтеза сигнала
