ОСТРОГРАДСКОГО МЕТОД

ОСТРОГРАДСКОГО МЕТОД — метод выделения рациональной части неопределенного интеграла

1132

где Q — многочлен степени n, имеющий кратные корни, а Р (х) — многочлен степени m≤n.  Если Р(х): Q(х) представляет собой правильную несократимую дробь и знаменатель Q(х) разлагается на простые множители, т. е. Q(х)=(x — а)к . . . (х2+рх+q)m , то интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей следующих двух видов:

1133где А1, А2, .. ., Ак, М1, М2, .., Мm, N1, N2, …, Nm — некоторые постоянные коэффициенты. Если к (или m) больше единицы, то интегралы всех дробей первого вида (кроме интеграла от первой дроби) находятся по формуле:

1134а интегралы всех дробей второго вида представляются в следующей форме:

1135После объединения (суммирования) всех этих результатов получим равенство вида:

1136где рациональная часть интеграла P1(х):Q1(х) получается путем сложения выведенных выше рациональных частей и представляет собой правильную дробь со знаменателем

1137Дробь Р2(х) : Q2(х), оставшаяся под знаком интеграла, получается от сложения дробей вида

1138и поэтому также является правильной со знаменателем1139не имеющим кратных множителей (корней), т. е. этот знаменатель Q2(х) содержит все те же множители (корни), что и знаменатель Q(х) первоначальной дроби, но уже только в первой степени.

Очевидно,

1140Остроградский нашел метод выделения рациональной части P1(х):Q1(х) интегралов от правильных рациональных дробей чисто алгебраическим путем, не пользуясь методами интегрального исчисления.
Прежде всего находим Q1(х) как общий наибольший делитель функции Q(x) и ее производной Q'(х) (например, с помощью алгоритма Евклида); определив Q1(х) , найдем Q2(х) =Q(х): Q1(х) . После этого в равенстве (формуле) Остроградского остается определить два многочлена P1(х) и Р2(х) . Так как степени искомых многочленов P1(х) и Р2(х) соответственно ниже степеней найденных уже многочленов Q1(х) и < Q2(х) . то мы их в равенство Остроградского запишем с неопределенными коэффициентами, а затем, продифференцировав обе части этого равенства, получим следующее тождество:

1141После приведения к общему знаменателю, приравняв друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях левой и правой частей этого тождества, получим систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов искомых многочленов P1(х) и Р2(х) . Решая эту систему, найдем неизвестные коэффициенты (а значит, и сами многочлены). Теперь для получения интеграла от первоначально заданной дроби Р(х):Q(х) остается проинтегрировать дробь Р2(х) : < Q2(х), которая выражается уже только через трансцендентные функции (логарифмы и арктангенсы).
Итак, в равенстве (формуле) Остроградского имеем: Р(х):Q(х), P1(х) :Q1(х) и Р2(х) (x):< Q2(х) — правильные рациональные дроби, Q1(х) — общий наибольший делитель Q(х) и Q'(x), а Q2(х)=Q(x):Q1(x). P1(х) и Р2(х) — многочлены, находимые методом неопределенных коэффициентов.