ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ n-мерного евклидова пространства — линейное преобразование (см.), сохраняющее длину каждого вектора. Ортогональное преобразование есть обобщение вращений трехмерного евклидова пространства вокруг начала координат [быть может, с отражениями] на многомерный случай. В ортонормальном базисе (см.) матрица ‌‌‌‌ ‌‌‌|| aij ||. п. (см.) обладает следующими свойствами:
1) сумма квадратов элементов одной строки (одного столбца) равняется единице:
Матрица || aij ||, обладающая свойствами 1) и 2), называется ортогональной. Матрица A-1, обратная ортогональной матрице A, совпадает с транспонированной A’. Все собственные значения ортогональной матрицы или ортогонального преобразования по модулю равны единице. Совокупность всех ортогональных преобразований образует группу, которая называется ортогональной группой.

Справедлива теорема: всякую квадратичную форму ортогонального преобразования переменных можно привести к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами. Эти коэффициенты вещественны, если коэффициенты квадратичной формы вещественны.

Примеры: 1) вращение трехмерного евклидова пространства вокруг начала координат есть ортогональное преобразование; 2) преобразование переменных уj=—хi (i=1, 2, . . ., n) ортогонально относительно скалярного произведения (см.); 3) матрица ортогональна; 4) если { e1, е2, е3 } и { f1, f2, f3 }—системы ортонормальных векторов, то линейное преобразование A, задаваемое формулами: A ( еi )= fi , i = 1, 2, 3, есть ортогональное преобразование.

Пусть aij означает косинус угла между еi и fj i,j= 1, 2, 3. Тогда матрица, составленная из этих коэффициентов, есть ортогональная матрица. В базисе { e1, е2, е3 } она задает ортогональное преобразование. Ортогональное преобразование рассматривается во многих отделах математики. В частности, в аналитической геометрии задача о приведении уравнения кривой (поверхности) 2-го порядка к каноническому виду эквивалентна задаче о приведении квадратной формы ортогонального преобразования к сумме квадратов с некоторыми коэффициентами.

Различают собственные и несобственные ортогональные преобразования. Определитель (см.) матрицы собственных ортогональных преобразований равен +1, а несобственных —1. Несобственные ортогональные преобразования есть вращение евклидова пространства вокруг начала координат с отражением.