ОРИЕНТАЦИЯ

ОРИЕНТАЦИЯ: 1°. Ориентация базисов. Говорят, что два базиса [два репера (см.)] n-мерного пространства ( е1, е2, . . ., еn) и (f1, f2, . . ., fn ) одинаково ориентированы, если линейное преобразование Aei = fi(i= 1, 2,…,n) задается матрицей с положительным определителем (см.). Если же матрица преобразования А имеет отрицательный определитель, то базисы ( е1, е2, . . ., еn) и (f1, f2, . . ., fn ) ориентированы различно.

2°. Ориентация поверхности. Разобьем поверхность на частично налегающие друг на друга куски ωi  такие, что уравнение каждого куска может быть дано в виде: х=х(u, υ), у=у(u, υ), z=z(u, υу), 0<u<1, 0<υ<1 (для поверхности в целом такие уравнения, вообще говоря, написать невозможно).
На каждом таком куске задается два векторных поля (два упорядоченных линейно независимых касательных вектора в каждой точке поверхности, непрерывно зависящих от точки). Каждая пара указанных векторных полей задает ориентацию куска. Две пары векторных полей задают одну и ту же ориентацию куска, если в любой точке куска векторы ξ1и η1, первой пары векторных полей одинаково ориентированы с ( ξ2и η2 )— векторами второй пары векторных полей. В противоположном случае две пары векторных полей задают различные ориентации.

Если куски ωi, покрывающие поверхность, можно ориентировать так, чтобы на пересечениях ωi∩ωj совпадали ориентации кусков ωi, то поверхность называется ориентируемой, а ее ориентация определяется ориентацией каждого из кусков.

Для наглядности вместо пары векторных полей рассматривают в каждой точке поверхности векторное произведение векторов из векторных полей. Тогда в каждом куске задается поле векторов, ортогональных поверхности и направленных в «одну сторону» от поверхности. Если на каждом куске (рис. 187) рассмотреть такое поле и если на пересечении ωi∩ωj поля ωi и ωj  совпадают по направлению, говорят, что поверхность ориентируема и задана ее ориентация. Отсюда непрерывное семейство нормальных к поверхности векторов задает ориентацию поверхности. Та сторона поверхности, куда направлены нормальные векторы, называется положительной стороной относительно данной ориентации и ωj

1109Примеры: 1. Семейство векторов (рис. 188), ортогональных сфере и направленных от центра, задает ориентацию сферы, объявляя положительной внешнюю сторону поверхности сферы. Возможна другая ориентация. Ее задают нормальные векторы сферы, направленные внутрь сферы.

2. На листе Мёбиуса невозможны непрерывные семейства ненулевых нормальных векторов. Лист Мёбиуса неориентируем.

3°. Ориентация несамопересекаюшейся кривой — один из двух возможных способов движения вдоль кривой.