ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ (детерминант) n-го порядка — алгебраическая сумма n! слагаемых, составленных из элементов квадратной матрицы (таблицы):

1105по следующему закону: каждое слагаемое есть произведение n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждый член со знаком (—1)t , где t — число инверсий (см.) во вторых индексах члена, когда первые индексы члена расположены в натуральном порядке. Для обозначения определителя используется символ:

1106т. е. элементы матрицы заключаются в прямые вертикальные черточки. Этот символ был введен в XIX в. английским математиком Кэли. Следовательно

1107где сумма берется по всем перестановкам из чисел 1, 2, . . n, а t — число инверсий в подстановках

1108Таким образом, совокупность всех определителей образует числовую функцию на множество всех квадратных матриц.

Определитель обладает рядом свойств, которые лежат в основе практических способов их вычислений. Основные свойства определителя следующие: 1) Определитель не изменяется при транспонировании (см.) строк и столбцов; 2) если один из столбцов (строк) состоит из нулей, то определитель равен нулю; 3) если один определитель получен из другого определителя перестановкой двух столбцов (строк), то определитель отличаются друг от друга знаком; 4) Определитель, содержащий два пропорциональных, в частности два равных столбца (строки), равен нулю; 5) Определитель не меняется, если к какому-либо столбцу (строке) прибавить линейную комбинацию других столбцов (строк); 6) если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя умножить на некоторое число к, то весь определитель умножится на к, т. е. общий множитель любой строки или любого столбца можно выносить за знак определителя; 7) если элементы какого-либо i-го столбца (строки) определителя являются суммами двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, в первой из которых в качестве i-го столбца (строки) взяты первые слагаемые, а во втором — вторые слагаемые; при этом элементы всех остальных строк (столбцов) у каждого из трех определителей одинаковы.

Свойство 2 и более общее свойство 4 дают лишь достаточные условия для равенства нулю определителя. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя состоит в том, чтобы какой-либо столбец (строка) был линейной комбинацией других столбцов (строк).

Определитель имеют многочисленные приложения к различным вопросам математики и физики. См., например, Крамера правило и опирающуюся на него Кронекера— Капелли теорему, Остроградского определитель, Вронского определитель, Грамма определитель и т. д.

Начало зарождения определителя относится, по-видимому, к концу XVII в. Лейбниц (1693) в одном из писем Лопиталю сообщает, что он сделал открытие, пользуясь системой двойных индексов коэффициентов уравнений. Однако результаты Лейбница не были опубликованы, поэтому они остались неизвестными.

В 1750 г. Крамер указывает общий закон составления определителя и общие формулы для решений систем n линейных уравнений с n неизвестными. Общая теория определителя была начата Вандермондом (1771) и дальнейшее существенное развитие получила (1812) в работах Бине и Коши. В настоящее время определители применяются почти во всех разделах математики, а также в очень многих ее приложениях.