ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ

ОДНОРОДНЫЕ КООРДИНАТЫ точки (прямой) на плоскости — это тройки пропорциональных чисел ( х1, х2, х3 ), не равные нулю одновременно, которые связаны с декартовыми координатами точки х и у формулами:

1083Если точка имеет однородные координаты ( х1, х2, х3 ), то та же точка имеет однородные координаты ( ρх1, ρх2, ρх3 ), где ρ—любое действительное число ≠0. Аналогично определяются однородные координаты точки и в пространстве трех и большего числа измерений. Уравнения кривых линий и поверхностей, записанные в однородных координатах, имеют часто простой и симметричный относительно текущих координат вид. Введение однородных координат было вызвано необходимостью дополнить евклидову плоскость бесконечно удаленными (несобственными) точками ( х1, х2, 0), третья координата которых равна нулю, что приводит к понятию проективной плоскости в проективной геометрии.
В системе однородных координат бесконечно удаленные точка и прямая (уравнение последней х3 =0) не играют никакой особой роли по сравнению с любыми другими точками и прямыми плоскости. В этом состоит все значение однородных координат. Мы можем исследовать поведение кривой в бесконечно удаленных точках, так же как и поведение этой кривой в любой другой (собственной) точке; мы можем говорить о касательных в несобственных точках, о двойных (кратных) несобственных точках кривой и т. д.
Например, уравнение параболы у²=2рх в однородных координатах имеет вид: x22 = 2рх1х3 (*), откуда заключаем, что парабола имеет с несобственной прямой х3 =0 точку касания, так как из уравнения (*) вытекает, что точка ( х1 ,и 0, 0), где х1 ≠ 0 — любое действительное число, х2 =0, х3 =0,—двойная точка пересечения параболы и несобственной прямой. Следовательно, несобственная прямая есть касательная к параболе. Аналогично показывается, что гипербола имеет с несобственной прямой две точки пересечения, а эллипс — ни одной общей точки.