ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ: 1°. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения

1046представляет собой семейство функций у = φ(х, С1,…,Сn ), непрерывно зависящих от n произвольных постоянных С1, С2,…,Сn . Выбирая соответствующим образом значения этих постоянных, можно получить любое частное решение, за исключением, быть может, особых решений (см.) уравнения. Выбор определенных значений постоянных эквивалентен заданию начальных (граничных) условий. Начальные условия однозначно выделяют частное решение из общего. Если соотношение, связывающее х, у и z произвольных постоянных, дано в виде, не разрешенном относительно у:

1047то такое соотношение называется общим интегралом обыкновенного дифференциального уравнения. Пример:

1048общий интеграл, у = Схех есть общее решение. Аналогично определяется общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2°. Общее решение дифференциального уравнения в частных производных

1049представляет собой функционал, зависящий от одной или нескольких произвольных, непрерывных и дифференцируемых функций. Частные решения получаются из общего заданием начальных условий (начальных данных Коши). См. Коши задача.

3°: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения является суммой общих решений соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Пример: неоднородное уравнение

1050имеет частное решение

1051Общее решение однородного уравнения

1052является:

1053
Тогда общее решение данного неоднородного уравнения является:

10544°. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка у»+р1у’+p2y=0 получается из одного из частных решений этого уравнения у1 квадратурами

1055где С1, С2 — произвольные постоянные.

5°. Общее решение неопределенного уравнения. В теории чисел рассматриваются неопределенные (диофантовы) уравнения, т. е. уравнения с несколькими переменными, для которых ищутся целые (или же рациональные решения). Такие уравнения имеют общее решение, зависящее от целочисленных параметров. Например, уравнение х²+у²=z² имеет общее решение х²=m² — n², у=2mn, z²=m²+n², где m, n — целые числа.

6°. Общее решение тригонометрического уравнения есть множество всех его решений. Например: sin=а, x=Аrcsin а ( | а |≤1) или

1056общее решение, как видим, может быть представлено в разной форме.