ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ для данной функции у=f(х) — функция (быть может, многозначная) х=φ (у), задающаяся тем же законом соответствия между переменными х и у, как и данная функция f(х); но в обратном направлении: у→х=φ (у), когда х считается функцией, а у — независимой переменной; другими словами, каждому значению у ставятся в соответствие все такие значения x=φ (у), для которых f(х)=у. Например, для функции у = f(х) = х² Обратная функция будет двузначная функция x=φ(у)= ± √у . ибо f(+ √у ) = (+ √у ) = (+ √у )² = у и f(- √у ) = (- √у ) = (- √у )² = y.
Областью определения обратной функции является множество значений F данной (прямой) функции, а множеством значений обратной функции является область определения Е прямой функции. Для обратной функции х=φ(у) справедливо соотношение f[φ(у)]=у для всех у из F и при любом выборе (если φ(у) многозначна) значения φ(у). Если обратная функция однозначна, то φ [f(x)]=x для всех х из Е и данная функция у=f(х) является обратной функцией для своей обратной функции х=φ (у) — в этом случае функции f и φ называются взаимно обратными. Если обратная функция многозначна, то часто ее представляют как совокупность однозначных функций, также называемых часто обратными функциями (точнее, ветвями обратной функции). Например, полная обратная функция для у=sinх, обозначаемая x=Аrс sin у, —1≤у≤1, может быть представлена как совокупность функций x=(—1)n · arc sin у + πn (n=0, ±1, . ±2, . . .), где функция х=аrc sin у есть однозначная ветвь обратной функции, определяемая дополнительным условием

1040и называемая главным значением арксинуса; функция х=аrc sin у и функция у=sin х с областью определения

1040взаимно обратны. График обратной функции х=φ(у) совпадает с графиком прямой функции у =f(х). Если же в обратной функции обозначения функции х и аргумента у изменены на у и x, т. е. рассматривается функция у=φ(х), то ее график симметричен графику y=f(х) относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов системы координат. Например, на рис. 170 показан график функции у=+√ 4х — х² — З и двузначной обратной функции (с изменением обозначений) у=2±√1—х² .

1041Справедлива теорема об обратной функции: для всякой непрерывной монотонной функции у=f(x), заданной на [а, b] и с областью значений [f(а), f(b)], существует однозначная монотонная и непрерывная обратная функция, отображающая [f(а), f(b)] на [а, b].