ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ — линейный непрерывный функционал (см.), определенный в пространстве бесконечно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль вне некоторого отрезка. Каждая обычная ограниченная функция f(х) является обобщенной, ибо она определяет такой функционал:

1033К обобщенным функциям относится, например, дельта-функция δ (x). Это есть функционал, который функции φ (х) ставит в соответствие число φ (0). Это формально можно записать так:

1034Обобщенные функции обладают рядом свойств, которых нет у обычных функций. Например, всякая обобщенная функция имеет производную в обобщенном смысле. Обобщенную функцию можно рассматривать как функционалы и в других пространствах. Понятие обощенной функции широко применяется в дифференциальных уравнениях. Впервые понятие обобщенной функции, по существу, появилось в работах советского математика С. Л. Соболева. Систематически изучал их Л. Шварц, а затем многие советские математики.