ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ А и В есть множество, состоящее из тех и только тех элементов, каждый из которых есть элемент хотя бы одного из множеств А или В. Объединение множеств А и В обозначается символом

1057(или А+В) и называется иногда суммой множеств А и В. Объединение множеств А и В на рис. 171 схематически изображено заштрихованной областью.

1058Аналогично, если даны множества Аα, где α пробегает конечное или бесконечное множество индексов

1059называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному множеству Аα при некотором

1060(Если некоторый элемент а входит в несколько множеств Аα то в объединении множеств Аα он входит лишь один раз.) Объдинение множеств

1061обозначается символом

1062а в случае, когда

1063счетное множество и состоит из чисел натурального ряда 1, 2,…, то объединение множеств A1, A2 , . . . обозначается символом

10651064

Объединение множеств является одной из основных операций над множествами. Объединение множеств удовлетворяет законам коммутативности, ассоциативности и идемпотентности (см.); Объединение множеств связано с пересечением множеств (см.) двумя законами дистрибутивности

1067Эти два закона дистрибутивности двойственны (см. Двойственность).

Примеры: 1) пусть A — множество четных чисел и В — множество нечетных чисел; тогда

1057множество всех целых чисел; 2) пусть Ai —множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих неравенствам ( i — 1 ≤ x ≤ i +1, где i — пробегает множество натуральных чисел: 1, 2, 3, …; тогда

1068является множеством всех неотрицательных действительных чисел.