МНОГООБРАЗИЕ

МНОГООБРАЗИЕ — математическое понятие, обобщающее на n-мерный случай понятие поверхности без самопересечений и краев. Неудобство изучения даже такой простой поверхности, как сфера, заключается в невозможности задать на ней единую систему координат без особенностей. Но, однако, можно разбить сферу на куски, частично налегающие друг на друга, гомеоморфные (см.) кругу евклидовой плоскости (рис. 151), и в каждом из кусков ввести систему координат при помощи упомянутого гомеоморфизма Si .

898

Именно — если точка Рi го куска при гомеоморфизме Si  переходит в точку (х, у) круга, то числа х и у мы считаем координатами точки Р сферы. Если точка Р  принадлежит сразу двум кускам υi и υj , то она имеет координаты х1, у1 связанные с S1 , и координаты х22 , связанные с S2 . Таким образом, х2иу2 являются функциями х1 и у1 (и наоборот).
Абстрактное определение многообразия во многом следует изложенной конструкции для сферы многообразия: во-первых, есть топологическое пространство X, покрытое конечным, или счетным, числом множеств { υi }, гомеоморфных n-мерному евклидову открытому шару

899(n называют размерностью М.). Гомеоморфизмы Si : υi → S задают в топологическом пространстве системы координат ( Si задает систему координат в υi ). Если точка

900она имеет два набора координат ( x1, x2, …, xn) и (x′1, x′2, …, x′n ) в силу чего x′i (i=1,2, …,n) являются функциями x1, x2, …, xn  . Пространство X будет многообразием класса Сk , если x

j(j=1,2, …,n), являются k раз дифференцируемыми функциями xj  (j=1, 2, …,n). Если эти функции аналитические, то многообразие — аналитическое. Множества { υi } с гомеоморфизмами Si называются системой локальных координат многообразия.

Примеры: сфера, тор, плоскость — двумерные многообразия. Множество прямых на плоскости является также двумерным многообразием. (прямая мыслится как точка многообразия.).